Markov鏈利率下再保險模型的破產概率上界

牛祥秋

摘 要 研究了如何確定離散時間情況下再保險模型破產概率上界的問題.為了降低自身的破產風險，保險公司常常對部分乃至全部資產進行再保險.假定索賠間隔時間和索賠額具有一階自回歸結構，假定利率過程為取值于可數狀態空間的Markov鏈.建立了其比例再保險模型，分別用遞歸更新技巧和鞅方法得到模型的破產概率上界.該破產概率上界作為評估再保險公司償付能力和風險控制能力的重要指標，對于它的研究成果能為再保險人做出重大決策提供重要的依據，具有較為重要的理論和現實意義.

關鍵詞 概率論； 上界； 鞅； 比例再保險； 破產概率； Markov鏈利率

中圖分類號 O211.9 文獻標識碼 A

Abstract Upper bounds for the ruin probability of reinsurance were studied in a discrete time risk model. To reduce the risk， there is a possibility to reinsure a part or the whole reserve. In the model， the time between the occurrence of the claims and the claims were assumed to be the AR（1） structure， the interest rates followed a Markov chain with a denumerable state space. The risk model of proportional reinsurance was considered. The upper bounds for the ruin probability were derived both by renewal recursive technique and martingale method. As an important indicator of the abilities of solvency and risk management， the research of the ruin probability can provide an important basis for reinsurer's major decisions， so it has important theoretical and practical significance.

Key words probability theory； upper bound ； Martingale； proportional reinsurance； Markov chain interest rate

1 引 言

破產概率是風險研究的內容之一.保險公司為了降低破產風險而傾向于把部分甚至是全部資產進行再保險，因此對再保險破產概率的研究很具有現實意義. Cai（2002a）研究了利率為獨立同分布的隨機變量情形的離散時間風險模型破產概率上界估計[1]；Cai（2002b）研究了利率為一階自回歸情形的離散時間風險模型破產概率上界估計[2].Cai，Dickson（2004）考慮了利率為Markov鏈形式的風險模型，并且分別用遞歸方法和鞅方法得出了破產概率的上界[3]； Yang，Zhang（2003）研究了保費和索賠額具有一階自回歸結構的常利率風險模型，得到破產概率的指數型和非指數型上界[4]； Lin，Wang（2006）研究了凈損失額（索賠額減去保費）具有一階自回歸結構，利率為Markov鏈形式的風險模型，并且分別用歸納法和鞅方法得出了破產概率的上界[5]；郭風龍，王定成（2012）研究了保費收入和利率均具有Markov鏈形式的風險模型，運用遞歸更新方法得到破產概率的Lundberg型上界[6].魏龍飛（2016）研究了索賠和利率過程分別為2個自回歸移動平均結構模型的情形，運用遞歸更新方法得到破產概率的上界估計并對兩類風險模型的破產概率的上界進行了比較[7].程建華，王德輝（2012）研究了保費和索賠額具有一階自回歸結構而利率為Markov鏈形式的風險模型，針對保費的期初收取和期末收取的兩種情況，分別用鞅方法得到其各自的破產概率上界[8].Diasparra，Romera（2009）研究了利率為Markov鏈形式而索賠間隔時間和索賠額均為獨立同分布的非負隨機變量序列的再保險風險模型，同樣是用兩種方法得到破產概率的上界[9]；基于文獻[9]，王麗霞，李雙東（2014）運用更新遞歸方法研究了利率具有一階自回歸結構的再保險模型的破產概率上界[10].是在文獻[9]模型的基礎上，考慮索賠間隔時間和索賠額具有一階自回歸結構而利率為取值于可數狀態空間的齊次Markov鏈形式結構的比例再保險情形.運用遞歸更新技巧得到比例再保險模型的破產概率的微積分形式，并利用歸納法給出破產概率的Lundberg型上界；運用鞅方法得出模型的破產概率的上界估計.

5 結 論

隨著中國的保險市場逐步與國際接軌，各保險公司越來越重視到再保險的重要性.保險公司通過再保險旨在分散和控制風險以達到降低破產發生的概率.而索賠間隔時間，索賠額，利率以及分保費比例等因素直接影響到破產發生的概率.基于此，論文考慮了利率、索賠額和索賠的時間間隔的相依情形對比例再保險模型破產概率的影響.分別運用了更新遞歸技巧和鞅方法兩種方法得到模型的兩種破產概率的上界估計.由此來分析各因素的變化對再保險模型破產概率的影響，具有重要的現實意義.

對于再保險的研究主要分為比例再保險和超額損失再保險兩個方向.文中僅考慮了比例再保險的情形，未有涉及超額損失再保險情形.接下來會對超額損失再保險作進一步研究.endprint

參考文獻

[1] J CAI. Discrete time risk models under rates of interest [J]. Probability in the engineering and informational sciences，2002，16（3）：309-324.

[2] J CAI. Ruin probabilities with dependent rates of interest [J]. Journal of Applied Probability.2002，39（2）： 312-323.

[3] J CAI， D DICKSON. Ruin probabilities with a Markov chain interest model [J]. Insurance Mathematics & Economics.2004，35（3）：513-525.

[4] H L YANG， L H ZHANG. Martingale method for ruin Probability in an autoregressive model with constant interest Rate[J]. Probability in the Engineering & Informational Sciences，2003， 17（2）：183-198.

[5] L XU， R M WANG. Upper bounds for ruin probabilities in an autoregressive risk model with a Markov chain interest rate [J].Journal lf industrial and management optimization，2006，2（2）：165-175.

[6] 郭風龍，王定成. 考慮Markov保費和利率的離散時 間風險模型的破產概率[J].數學的實踐與認識， 2012， 42（12）：136-140.

[7] 魏龍飛. 具有相依結構離散時間模型破產概率的上界[J]. 經濟數學， 2016， 33（1）：88-92.

[8] 程建華，王德輝. Markov鏈利率下相依風險模型破產概率的上界[J].吉林大學學報：理學版，2012，50（2）：173-178.

[9] M DIASPARRA， R ROMERA. Inequalities for the ruin probability in a controlled discrete-time risk process[J]. European Journal of Operational Research. 2009， 204（3）： 496-504.

[10]王麗霞，李雙東.相依利率下離散時間再保險模型的破產問題[J].應用概率統計，2014，30（3）：279-288.

[11]D LAMBERTON， B LAPEYRE. Introduction to stochastic calculus applied to finance[M]. London： Chapman & Hall，1996.endprint