馬氏調制費率復合Poisson Geometric風險模型的預警區問題

余國勝+賀小麗+姚春臨+熊昕

摘 要 考慮了一類具有馬氏調制費率的復合Poisson-Geometric過程風險模型，充分利用盈余過程的強馬氏性，得到第一個預警區的一個條件矩母函數所滿足的微積分方程，并進一步在兩狀態情形下，當理賠額的分布為指數分布時得到了第一個預警區的一個條件矩母函數的具體表達式以解釋結果.需要特別指出的是，所研究模型的盈余過程不具有平穩增量性，只能充分運用盈余過程的強馬氏性，研究了一類具有馬氏調制費率的復合Poisson-Geometric過程風險模型的預警區問題，豐富了保險公司對預警區問題的研究，對保險公司考慮財務預警系統以及保險監管部門設計某些監管指標系統具有一定的參考指導價值.

關鍵詞 概率論與數理統計；條件矩母函數；微積分方程；馬氏調制；預警區；復合Poisson-Geometric風險模型

中圖分類號 O211.6 文獻標識碼 A

Abstract The duration of negative surplus for compound Poisson-Geometric risk model with Markov-modulated premium rates is considered. By taking full advantage of the strong Markov property of the surplus process， an integral-differential equation of a conditional moment generating function for the first duration of negative surplus has been obtained. Under the two states model， when the claim is exponential distribution， the explicit expression of a conditional moment generating function for the first duration of negative surplus is given to illustrate the results. Particularly wish to point out， the surplus process of the research model is not stable and incremental， the strong Markov property of the surplus process can be fully used， the problem of the duration of negative surplus for compound Poisson-Geometric risk model with Markov-modulated premium rates is researched for the first time. It has enriched the insurance companies to the study of the duration of negative surplus. It has a certain reference value to consider the financial early warning system for insurance companies and to design certain supervision index system for insurance supervision department.

Key words probability and mathematical statistics； conditional moment generating function；integral-differential equation； Markov-modulated； Duration of negative surplus； compound Poisson-Geometric risk model

1 引 言

破產概率問題是風險理論研究中的核心問題之一，可以為保險公司決策者提供一個早期的風險預警.風險理論中的“破產”并不意味著保險公司真正破產，只是保險公司面臨著暫時的財務危機，假如保險公司可以從外部（或公司內部各業務之間）得到幫助，使其在未來的某個時間從負盈余狀態恢復過來實現扭虧為盈的時間稱為預警區.鐘朝艷（2012）研究了一類復合Poisson-Geometric風險模型下預警區問題，得到第一個預警區的一個條件矩母函數所滿足的微積分方程，并在指數理賠情形下給出其精確解[1].鐘朝艷（2014）將利率因素引入一復合Poisson-Geometric風險模型，得到第一預警區的一個條件矩母函數所滿足的微積分方程，并在指數理賠的特殊假設下得到其精確解[2].崔巍和余旌胡（2012）討論了一類推廣的復合Poisson-Geometric風險模型的預警區問題，此模型保費收入過程是復合Poisson過程，理賠次數過程是Poisson-Geometric過程[3].近年來，馬氏調制費率的風險模型引起了學者們的廣泛關注.向陽和劉再明（2002）討論了具有馬氏調制費率的復合Poisson風險模型，對于給定的初始狀態和初始分布，給出了條件破產概率ψi（u）和最終破產概率ψ（u）所滿足的積分方程，并給出了零初始資產時破產概率ψ（0）的明確表達式[4].受此啟發，考慮一類具有馬氏調制費率的復合Poisson-Geometric過程風險模型，充分利用盈余過程的強馬氏性，得到第一個預警區的一個條件矩母函數所滿足的微積分方程，并進一步在兩狀態情形下，當理賠額的分布為指數分布時得到了第一個預警區的一個條件矩母函數的具體表達式以解釋結果.

5 結 論

充分利用盈余過程的強馬氏性，運用有別于傳統鞅方法的方法，討論了一類具有馬氏調制費率的復合Poisson-Geometric過程風險模型的預警區問題，得到第一個預警區的一個條件矩母函數所滿足的微積分方程，并進一步在兩狀態情形下，當理賠額的分布為指數分布時給出其精確解，豐富了保險公司對預警區問題的研究，對保險公司考慮財務預警系統以及保險監管部門設計某些監管指標系統具有一定的參考指導價值.

參考文獻

[1] 鐘朝艷. 復合Poisson-Geometric 風險模型的預警區問題[J].經濟數學，2012，29（2）：83-86.

[2] 鐘朝艷. 一類常利率復合Poisson-Geometric 風險模型的預警區問題[J].西南師范大學學報（自然科學版）2014，39（3）：36-40.

[3] 崔巍，余旌胡. 一類推廣的復合Poisson-Geometric 風險模型下預警區問題的研究[J]. 數學物理學報，2012，32A（1）：27-40.

[4] 向陽，劉再明. 具有馬氏調制費率的復合Poisson風險模型的破產概率[J]. 經濟數學，2002，19（4）：47-51.

[5] 毛澤春，劉錦萼.索賠次數為復合Poisson-Geometric過程的風險模型及破產概率[J].應用數學學報，2005，28（3）：419-428.endprint