Heston隨機波動率模型下的資產負債管理問題

樊順厚+馬娟+常浩

摘 要 應用隨機最優控制方法研究Heston隨機波動率模型下帶有負債過程的動態投資組合問題，其中假設股票價格服從Heston隨機波動率模型，負債過程由帶漂移的布朗運動所驅動.金融市場由一種無風險資產和一種風險資產組成.應用隨機動態規劃原理和變量替換法得出了上述問題在冪效用和指數效用函數下最優投資策略的顯示解，并給出數值算例分別分析了市場參數在冪效用和指數效用函數下對最優投資策略的影響.

關鍵詞 金融學；最優投資策略；動態規劃原理；資產負債管理

中圖分類號 F832.48 O211.6文獻標識碼 A

Abstract The stochastic optimal control theory was used to study a dynamic portfolio selection problem with liability process under the Heston's stochastic volatility model. Stock price was assumed to be governed by the Hestonmodel， and the liability process was supposed to be driven by the drifted Brownian motion. The financial market consists of one risk-free asset and one risky asset. The explicit solutions to the optimal investment strategies under power utility and exponential utility were obtained by using stochastic dynamic programming principle and variable separation method. Finally， a numerical example was given to illustrate the effect of market parameters on the optimal investment strategy.

Key words finance；optimal investment strategy； dynamic programming principle； asset-liability management

1 引 言

資產負債管理是研究投資過程中帶有負債因素的投資組合選擇問題，它將資金分散投資在多種資產中來實現資產的最優配置，從而確定最優投資策略和度量風險.1952年，Markowitz[1]提出了著名的均值方差模型，為現代投資組合選擇問題奠定了理論基礎.隨著經濟的不斷發展，金融投資環境面臨著許多不確定性的影響因素，比如連續時間、多期、可控或者不可控的內生負債、不確定終止時間等等.與此同時，許多學者從投資的角度對資產負債管理問題進行了深入研究，并應用動態規劃理論分析面臨負債的投資者在特定決策目標下的最優投資組合策略.姚海祥等人[2]研究了不確定退出時間下帶內生負債的多期均值方差準則下的資產負債管理問題，并應用動態規劃原理、Lagrange對偶理論和矩陣Hadamard乘積技術得到最優投資策略和有效前沿的顯示表達式.Chiu和Wong[3]研究了風險資產回報和保險索賠方面的均值方差準則下的資產負債管理問題，并應用Lagrangian法和最優反饋控制理論得到最優投資策略的閉式解和有效前沿.Zeng和Li[4]研究了跳擴散市場下均值-方差準則下的資產負債管理問題，并應用動態規劃理論和對偶理論得到最優投資組合策略和有效前沿的顯示解.常浩和常凱[5]研究了引入負債因素到借貸限制下的均值-方差準則下投資組合選擇問題，并應用動態規劃理論和Lagrange對偶理論得到最優投資策略和有效前沿的顯示解.曾艷等人[6]研究了連續時間不完備環境下資產價值與負債價值之比的期望效用最大化問題，并應用隨機動態規劃理論得到冪效用函數下最優投資策略的解析表達式.常浩和榮喜民[7]研究了在負債情形下基于冪效用函數、指數效用函數和對數效用函數的投資組合問題，并應用最優控制理論和Legendre變換-對偶理論得到最優投資策略的顯示表達式.而常浩[8]研究了CIR利率模型下的資產負債管理問題，并應用動態規劃原理和Legendre變換法得到二次效用函數下最優投資策略的閉式解.這些成果都是在常數波動率的假設下取得的，在實際的投資環境中，股票價格會受到許多不確定性因素的影響，其波動率往往不是一個常數，而是隨機變化的，上述成果在隨機波動率環境下的應用都有一定的局限性.

早在1993年，Heston[9]通過實證分析提出了一種隨機波動率模型，并且廣泛地應用到債券和期權定價問題中.如今，Heston隨機波動率作為隨機波動率中的主流模型，已經被學界和業界廣泛采用.Heston模型與其他隨機波動率模型比較，優勢在于其有計算效率和穩健性，而其他一些隨機波動率模型的缺點是不存在顯性解.更為重要的是Heston模型可以彌補Black-Scholes模型的不足，并且其提供的定價模型更貼近實際.李靜和周嶠[10]研究了Heston隨機波動率模型下的期權定價問題，修正了Black-Scholes模型下波動率為常數的不合理性.王愫新等人[11]研究了Heston隨機波動率模型下的保險公司和再保險公司的最優投資組合問題，并得到最優投資和再保險策略.張初兵等人[12]研究了Heston模型下確定繳費型養老金的最優投資策略問題，并應用變量分離法得到冪效用函數下最優投資策略的顯示解.常浩[13]研究了Heston隨機波動率模型下的動態投資組合問題，并應用動態規劃原理得到冪效用函數和指數效用函數下最優投資策略的顯示解.Zhao等人[14]研究了Heston隨機波動率模型下帶跳擴散模型的超額損失再保險問題，并應用最優控制理論得到指數效用函數下最優投資策略的精確解.上述這些模型都沒有考慮投資人面臨的負債因素.在Heston隨機波動率模型框架下考慮投資人所面臨的負債環境，由此而確定的最優投資策略將會更加符合實際的投資環境.endprint

擬在文獻[13]的基礎上引入負債因素，并假設負債過程服從帶漂移的布朗運動，風險資產價格滿足Heston隨機波動率模型.金融市場由一種無風險資產和一種風險資產組成.首先，應用動態規劃原理得到效用最大化下值函數所滿足的HJB方程.然后，假設投資者對風險的厭惡程度分別滿足冪效用函數和指數效用函數，進而研究兩種效用函數下的最優投資策略.最后，應用分離變量法和變量代換法得到兩種效用函數下最優投資策略的顯示表達式，并給出算例分析了市場參數對最優投資策略的影響.

本文的主要創新點有：（1）在常浩[13]的市場模型的基礎上引入負債因素，研究了Heston隨機波動率模型下的動態投資組合問題；（2）應用隨機動態規劃原理和變量替換法得出了冪效用和指數效用函數下最優投資策略的顯示解；（3）將現有的資產負債管理問題拓展到Heston隨機波動率模型中.

參考文獻

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