利用漢克爾變換設計高斯光束整形衍射元件的應用研究

劉　華

(中國科學院 長春光精密機械與物理研究所 光電技術研發中心，吉林 長春 130033)

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利用漢克爾變換設計高斯光束整形衍射元件的應用研究

劉華

(中國科學院 長春光精密機械與物理研究所 光電技術研發中心，吉林 長春 130033)

衍射光學元件由于可以實現對高斯光束的整形而被重視，其通常的設計方法為G-S算法，由于使用傅里葉變換運算量大、費時長，將快速漢克爾變換應用到這些算法中可以極大地提高運算速度，節省運算時間，為設計復雜的光束整形元件提供了高效、可行的方法。本文利用該種方法設計針對中心波長為775 nm、光束束腰口徑為6 cm的激光器，成功設計了一個具有二階相位的折衍混合光學元件。僅單獨這一片元件，既可在距離其35 m處得到一半徑為200 μm的圓形平頂光斑，均方根誤差D<0.021。當抽樣值取215時，在普通PC機上運行時間僅為20.05 s，大大節省了優化設計時間(整個優化設計過程往往需要幾十次甚是上百次這種運算)。同時利用離子刻蝕技術加工了該折衍混合元件，并進行了實際測試，結果與設計值基本相符，整形效果較好。這種單片的整形元件不僅整形效果好，還有利于與激光器的集成，簡化系統的調節。

衍射元件；光束整形；高斯光束；漢克爾變換

1　引　言

伴隨著激光技術的發展，激光器的功率不斷提升，應用也日益廣泛，如激光焊接、刻蝕、掃描、打標[1-4]等。這些應用都需要滿足激光光束會聚以后，光斑能量呈均勻分布，即形成平頂形狀的光斑。然而實際上由激光器直接出射的激光光束，其能量分布往往呈高斯狀，中心強、邊緣弱，不能滿足使用需求，需要利用光學方法對其進行光束整形。近年來，利用衍射光學元件進行光束勻化整形取得了極大的進展，人們已經利用位相片、全息片、二元光學器件等衍射元件獲得了光強分布均勻的光斑[5-9]。用于光束整形的衍射元件其傳統的設計方法有幾何光學法、模擬退火法、遺傳算法、G-S算法等[10-11]。其中幾何光學方法計算不夠精確，求得的結果往往作為G-S算法的初始值。模擬退火法、遺傳算法是基于搜索極值的優化算法，魯棒性強，要想找到最優解, 需要消耗大量的搜索時間，收斂速度很慢。G-S算法雖然收斂速度快，但是由于使用傅里葉變換，計算量大，計算周期長，很難實現快速、準確的設計和結果分析。另外在光束整形的過程中，很多情況除了需要對光束進行能量調節外，還需要在遠場將能量聚焦。為了實現這兩者的作用，通常做法是在衍射元件的后方再加入一片傅里葉變換透鏡[12]。這樣會導致光路中元件增多，調整不便，集成度不高。即使是做成單片，也基本是在平面基底上制作，導致衍射原件的位相周期比較小，為加工制作帶來不便[13]。

旋轉對稱性質的傅里葉變換可以用快速漢克爾變換來代替[14-15]，但大部分都是用于激光光束傳播過程的計算，目前還沒有系統的將該算法應用于G-S整形算法中的文獻報道。本文將其應用于G-S優化算法中，大大提高了計算速度，節省了計算時間。同時將衍射元件基底的另一表面制作成帶有曲率的球面，形成一個折衍混合光學元件，能夠同時完成光斑的勻化和聚焦功能。針對中心波長λ=775 nm的激光器，利用數學計算軟件Matlab成功設計了一個具有二階相位的折衍混合光學元件，在距離光束束腰35 cm處得到一個半徑為200 μm的圓形平頂光斑，均方根誤差D小于0.021。當抽樣值取215時，在普通PC機上運行時間僅為20.05 s，如果使用Matlab軟件中自帶的傅里葉變換和逆變換函數，運算時間會超過10 min。而優化設計過程往往會需要進行幾十次甚至上百次的運算，這會極大地節省優化設計時間。最后利用離子刻蝕技術將衍射位相刻制在了以平凸透鏡為基底的平面上，形成了理想的高斯光束整形折衍混合元件。在實驗室搭建了光斑測試系統，利用激光斑探測器接收光斑，表明設計結果理想，元件整形效果很好。同時系統只有一個光學元件，簡單易調，便于集成。

2　設計方法理論分析

圖1　光束整形的原理圖 Fig.1　Schematic diagram of beam shaping

(1)

式中，r為入射光線經過P1元件表面的徑向坐標，w0為高斯光束束腰半徑。|f0(r)|為輸入光波的實振幅，φ0(r)為輸入光波的位相。衍射光學元件P1的透過率函數為

(2)

則入射光波在經過衍射光學元件P1以及透鏡后的復振幅分布為

(3)

其中

對f1(r)進行傅里葉變換變換，得輸出函數為

(4)

式中，p為入射光線經過P2面的徑向坐標，J0為零階貝塞爾(Besse1)函數，z為輸入面和輸出面的間距，C為一常數。|g1(p)|為輸出光波的實振幅，φg1(p)為輸出光波的位相。設計要求輸出的實振幅為|g0(p)|，利用G-S迭代算法進行優化計算，便可以求得衍射光學元件的透過率函數。G-S迭代算法是一種常見的位相恢復優化計算，它的每次循環均由下列4個基本步驟組成

(5)

(6)

(7)

(8)

式中，β為實常數，一般取0<β<1。

以上計算過程是一個迭代過程，其中每次迭代都需要進行傅里葉變化和傅里葉逆變化，如果直接利用數學計算軟件中的對對應函數來計算，伴隨著抽樣數值的增大，其計算時間以指數倍增大，甚至會造成死機。在實際計算中，如果使用快速漢克爾變換，可以大大提高計算速度，節約計算時間。根據式(5)可得

(9)

當對輸入輸出函數進行N次抽樣時，

(10)

(11)

(12)

式中，fk(rN)≡0，k0=[2exp(a)+exp(2a)]/{[1+exp(a)]2[1-exp(-2a)]}，r0=[1+exp(a)]exp(-aN)/2。a可以通過解方程a=-ln[1-exp(-a)]/(N-1)求得。

循環過程中，利用均方根誤差D作為評價函數，一旦D滿足要求，循環結束，求得衍射光學元件的透過率函數。

(13)

式中，|gk(R)|i為計算中產生的輸出實振幅分布的第i個抽樣點值，|g0(R)|i為設計要求輸出的實振幅分布的第i個抽樣點值，N為抽樣點數。

3　實驗與結果

圖2　衍射元件2階位相分布圖 Fig.2　Binary phase of the diffractive optical element

圖3　接收面上能量分布的設計結果 Fig.3　Designed energy distribution on the detector plane

圖4　掩膜版結構圖與折衍混合元件實物 Fig.4　Configure of diffractive templet, binary refractive and diffractive optical element

我們在實驗室的光學平臺上搭建了測試系統，其光路如圖5所示，實物圖如圖6所示，能量呈高斯形狀分布的775 nm激光器經過擴束鏡后形成束腰口徑為60 mm的準直光束。將折衍混合光學元件置于束腰處，在距離其350 mm光斑會聚的位置，利用CCD類型的光電探測器測量了整形后的光能量分布情況。由于只用一片折衍混合元件即可實現光束的整形和聚光，該系統搭建過程簡單，調節方便。同時這個元件非常容易與激光器集成起來應用。

圖5　測試光路圖 Fig.5　Test optical system

通過使用CCD類型的光電探測器，我們首先直接測量了775 nm的激光光斑能量分布，其分布結果見圖7，該圖為三維能量分布圖，平面坐標為光斑的徑向尺寸，單位為100 μm，縱向坐標為能量值。可以明顯看出中心能量最高，邊緣能量低，呈高斯形狀分布。然后按照實物光路結構測量了經過折衍混合光學元件整形后的光斑，其能量具體分布狀況見圖8(該圖為三維能量分布圖，平面坐標為光斑的徑向尺寸，單位為100 μm，縱向坐標為能量值)，其頂部基本平坦，只是在光斑邊緣處有一個小的尖峰，這主要是由于衍射元件的環帶位置加工存在誤差以及實驗裝調時各個器件相對位置存在誤差等原因造成。經過計算，該光斑的尺寸為200 μm，均方根誤差D=0.025，結果與設計值基本相符，整形效果很好，能夠滿足應用需求。說明本方法設計的整形元件不僅速度快，而且效果理想。就是說，在利用數學計算軟件Matlab優化設計激光光束整形元件的過程中，將快速漢克爾變換替代其原有的傅里葉變換，可以大大提高G-S優化算法的速度，節省計算時間，同時能夠獲得理想的整形效果，把高斯分布的激光光束變換會聚后，得到平頂分布的光斑。

圖7　高斯光束的能量分布圖 Fig.7　Energy distribution of Gaussian beam

圖8　整形后能量分布圖 (3維立體) Fig.8　Energy distribution after beam shaping(3D)

4　結　論

本文針對中心波長λ=775 nm的激光器，成功設計了一個具有二階相位的衍射光學元件，可以在距離光束束腰350 mm處得到一半徑為200 μm的圓形平頂光斑。均方根誤差D<0.021，當抽樣值取215時，在普通PC機上運行時間僅為20.05 s。而使用傅里葉變換的計算時間

超過10 min。這種單次的計算時間的縮短，對于優化過程非常重要，因為整個優化設計過程往往需要反反復復進行幾十次甚至上百次的計算，尤其是經驗匱乏的新手，需要的計算次數就更多。同時將衍射元件與折射元件相結合，形成折衍射混合光學元件，單片就能完成對激光整形和會聚的作用，有利于及系統的集成和調節。最后通過對該衍射元件的制作和測試，表明設計結果理想，元件整形效果較好。

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Gaussian beam shaping diffractive optical element designed by Hankel transformation

LIU Hua

(Opto-electronicsTechnologyCenter,ChangchunInstituteofOptics,FineMechanicsandPhysics,ChineseAcademyofSciences,Changchun130033,China)

，E-mail：girlliuhua@sohu.com

Because diffractive optical element can shape Gaussian beam, it is attached great importance. The conventional design methods such as G-S algorithm tend to need a large amount of calculation and a long time, while Hankel transformation can increase calculation speed and save time. We successfully designed a binary refractive and diffractive optical element applying Hankel transformation into G-S algorithm. When the diffractive optical element was placed at the waist of the laser beam with the wavelength of 775 nm and the waist diameter of 6 cm, a uniform spot could be gotten at the detector plane 35 cm behind it. Its radius was 200 μm and root-mean-square error was smaller than 0.021. The calculation time was only 20.05 s with PC, saving much time during the process of optimization, in which hundreds of calculation were needed. We fabricated the refractive and diffractive optical element by ion beam etching, and tested it in lab. The experiment results agreed well with the caculation. This kind of element not only can get good spot, but also is suitable of integration with laser.

diffractive optical element;beam shaping;Gaussian beam;Hankel transformation

2015-12-15；

2016-01-11

國家自然科學基金重點資助項目(No.61137001)

2095-1531(2016)02-0277-07

O436

A

10.3788/CO.20160902.0277

劉華(1976—)，女，遼寧撫順人，博士，副研究員，2001年于東北師范大學獲得學士學位，2006年于中國科學院長春光學精密機械與物理研究所獲得博士學位，主要從事光學檢測、光學設計、衍射光學、非成像光學方面的研究。E-mail:girlliuhua@sohu.com

Supported by Major Project of National Natural Science Foundation of China(No.61137001)