導數在研究函數中的應用解題策略

孟凡華

吉林省長春市十一高中

導數在研究函數中的應用解題策略

孟凡華

吉林省長春市十一高中

導數在研究函數中的作用相關知識點的考查，歷年來是高考數學卷的高頻考點之一。在教學過程中，教師要根據考試重點，引導學生掌握各類求解方法，學好這一章節的內容。

導數；函數求解；高二數學；構造二階函數

高考中，對于《導數在研究函數中的作用》這一章節內容的考查主要集中在：利用導數研究函數的單調性、通過構造函數研究單調性來證明不等式、求函數的極值等問題。教學時教師要循序漸進，有針對性地進行專題教學。對于利用導數研究函數的單調性類試題，教師要幫助學生把握“兩條規律”；對于構造函數研究單調性來證明不等式類題型，學生需掌握移項法、作差法、換元法、主元法、構造二階函數法、從條件特征入手法、對數法、構造形似函數法等八種函數構造法；求函數極值類問題，教師要注意引導學生區分條件極值與無條件極值兩類題型，有的放矢進行解答。

一、利用導數研究函數的單調性

學生遇到利用導數研究函數的單調性問題時，難度相對而言并不是很高，教師需幫助學生掌握兩條規律：

（一）利用導數判斷或證明一個函數在給定區間上的單調性，實質上是判斷或證明不等式f′（x）＞0（f′（x）＜0）在給定區間上恒成立，一般解題步驟為：

（1）求導數f′（x）；

（2）判斷f′（x）的符號；

（3）給出單調性結論。

（二）導數的正負決定了函數的增減，當導函數中含有參數時，應注意對參數進行分類討論。

例1∶求函數y=bx/（x2-1）（-1＜x＜1，b≠0）的單調性。

解：令-1＜x1＜x2＜1，

于是有：

-1＜x1x2＜1，x1^2-1＜0，x2^2-1＜0，x2-x1＞0，

于是有

f（x1）-f（x2）=b［x1/（x1^2-1）-x2/（x2^2-1）］

=b［（x1x2+1）（x2-x1）/（x1^2-1）（x2^2-1）］

而x1x2+1＞0，（x1^2-1）（x2^2-1）＞0

所以當b＞0時，f（x1）-f（x2）＞0，所以函數在區間（-1，1）是為單調減函數；

當b＜0時，有f（x1）-f（x2）＜0，所以函數在區間（-1，1）上是單調增函數。

極值點、最值點是原函數圖象上常用的點，解答單調區間與單調性問題，是導數與函數求解中的初級題型，學生只要正確把握基本規律，關注參數問題，即可正確解答。計算不出問題的情況下，這類題基本就是送分題。

二、通過構造函數研究單調性來證明不等式

利用導數研究函數的單調性，再由單調性來證明不等式類試題是函數、導數與不等式綜合問題中的一個難點，也是高考的熱點，不考則已，一旦出現相關題目，所占分值都比較大。

在解題過程中，學生要構造輔助函數，把不等式的證明轉化為利用導數研究函數單調性或求最值的問題，從而證明不等式。

解：對不等式兩邊取對數得：

化簡為2（1+x）ln（1+x）＜2x+x2，

設輔助函數f（x）=2x+x2-2（1+x）ln（1+x）（x≥0），f'（x）=2x-2ln（1+x），

又由f（x）在［0，+∞）上連續，且f'（x）＞0，得f（x）在［0，+∞）上嚴格單調增加，

所以f（x）＞f（0）=0（x＞0），

即2x+x2-2（1+x）ln（1+x）＞0，2x+x2＞2（1+x）ln（1+x），

在解答此類問題時，關鍵在于構造可導函數來證明不等式，例3中所采取的方式是對數法。一般來說，有八種構造可導函數法，分別是：移項法、作差法、換元法、主元法、構造二階函數法、從條件特征入手法、對數法、構造形似函數法這八種方法。學生根據解題需要，有策略選擇一種方法作為突破口，可以有效提高解題效率。

三、求函數的極值

求函數極值問題一般分為兩類：條件極值和無條件極值。

條件極值問題即是函數中的自變量除受定義域約束外，還受其他條件限制的極值問題；

無條件極值問題即是函數中的自變量只受定義域約束的極值問題。

在解答過程中，學生需仔細審題，明確題干要求的是哪一類極值，綜合利用常見的求極值方法對問題進行解答。

（一）求條件極值類題目

在解答條件極值類問題時，學生可以參考代入法、拉格朗日乘數法、梯度法、二次方程判別式的符號、標準量代換法等5種方法尋找突破口，這5種方法是條件極值類問題常見求解方法，但每種方法都自身的局限性，學生需綜合考慮題干要求，選擇合適方法。

（二）求無條件極值類題目

解答無條件極值類問題時，學生可利用二階偏導數之間的關系和符號判斷取不取極值及極值的類型，若遇到三元及更多元的函數極值問題，可利用二次型的正定性加以解決。利用二次型的正定性來判斷多元函數的極值時要注意，由于充分條件對正定和負定的要求很嚴格，因此若條件不滿足，那么結論就不一定成立。

教學導數在研究函數中的作用這一章節內容時，新課教學中教師要將知識點講透，學生需要掌握的定理每一條都要過關。復習課中，教師要組織專題訓練，集中對學生進行相關題型講解，為學生解答此類問題奠定扎實的基礎。

［1］李天勝.從一道錯誤的例題談條件極值的代入法［J］.高等數學研究，2002（3）∶22.

［2］李瑛華.標準量代換法求函數極值［J］.實戰實例，2015