平衡力是洛倫茲變換下的不變量

李冬雪

湖北襄陽諸葛亮中學(xué)

平衡力是洛倫茲變換下的不變量

李冬雪

湖北襄陽諸葛亮中學(xué)

本文將證明平衡力是洛倫茲變換下的不變量，解決了非加速力在狹義相對論中的變換問題，并基于此提出了平衡力不變原理。

狹義相對論；平衡力；洛倫茲變換；S系；坐標變換；S’系

1　平衡力的變換問題

光速不變原理是從實驗概括出來的，也是狹義相對論【1】基本假設(shè)之一。而長度、時間、速度都是洛倫茲變換下的協(xié)變量。一般認為，相對論力學(xué)中，力也是洛倫茲變換下的協(xié)變量。變換方程可由洛倫茲變換和力學(xué)定律推出。

由于牛頓力學(xué)方程F=dp?dt，力與時間相關(guān)，這引起力有一個變換式。設(shè)S及S’為慣性系，S’系相對S系速度為u沿X軸正向移動，在S系及S’系建立笛卡爾坐標，S（x，y，z）

S’（x’，y’，z’），S’中的X’軸與S中的X軸重合，S’在S中以速度u沿X軸正向移動。因此，力的變換為：

C為光速，物體在S’系速度。

當只有平衡力作用在物體上，物體會保持勻速直線運動狀態(tài)或靜止狀態(tài)。因此F=dp?dt=0表示物體受合力為零，雖然如此，平衡力的存在可表現(xiàn)為使物體形狀發(fā)生變化，而不是使動量p發(fā)生變化。若是物體為一彈簧，作用在其上一對平衡力大小F=kΔx，Δx為彈簧受力與不受力時的長度差，稱為伸長量。

那么，平衡力否也遵循力的相對論變換呢？平衡力的合力為零，如果將平衡力的合力在不同慣性系變換，按相對論力的變換公式合力仍為零。那么，一對平衡力是否也單獨遵循力的相對論變換呢？如果，平衡力單獨遵循力的相對論變換，變換后再合成，其合力仍為零。這樣認為的確是一種方便的作法，但也是不可靠的。因為，平衡力的合力為零，其效果（使物體發(fā)生形變）與時間沒有關(guān)系，所以，平衡力是否單獨變換不能夠按通常的做法由力學(xué)定律及洛倫茲變換共同推出，只能由平衡力的效果，即使物體發(fā)生可測形變大小來推出。

而非平衡力的相對論變換與時間t有不可分割的關(guān)系，要遵循力的相對論變換式1—1。

2　平衡力不變原理

彈簧的伸長可測量力的大小，平衡力可以用彈簧的伸長測定。設(shè)計如圖裝置：物體A只能沿管m內(nèi)運動，物體B只能沿管n運動。A物體和B物體之間存在斥力，m、n只可沿與其垂直方向，就是沿Y軸運動，有彈簧在其中間。設(shè)有慣性系S（x，y，z）S’（x’，y’，z’），軸X、X’與管m、n平行。

圖 2—1

A物體受B物體Z正向斥力和m管給它的負Z方向的壓力，B物體受A的負Z方向的斥力和管n給它的Z向的壓力。當整個裝置穩(wěn)定不動時，A、B受平衡力，彈簧顯示

（△x）A與B斥力的大小。

狀態(tài)1：S’系相對S系靜止，此時，S系有甲、乙兩個測量員用相同的尺子測彈簧長度，他們測得值相同。

狀態(tài)2：甲發(fā)現(xiàn)乙測量員與S’系、彈簧、兩管m、n及物體A、B一起向右運動起來，穩(wěn)定后，S’系相對于S系速度為V，S系與S’系都是慣性系，S’系沿X軸正方向運動。而在乙看來，甲同S系一起以—V速度沿X軸負方向運動。對乙來說，彈簧和A、B物體一直相對他靜止。乙這時又測了一次彈簧長度，發(fā)現(xiàn)與前一次測得結(jié)果相同。甲這時發(fā)現(xiàn)乙的尺子豎直（沿Z’軸）和自己的尺子一樣長，他對照乙的尺子將乙的測量結(jié)果標在自己的尺子上，而乙的測量結(jié)果在S’系與彈簧等長，甲實際上又測了一次彈簧長度。由于乙發(fā)現(xiàn)彈簧長度未變，所以甲也發(fā)現(xiàn)彈簧長度未變。兩個系彈簧伸長也相同有△x=△x’

甲知道相對論的結(jié)果，當尺與速度方向平行時，會有洛倫茲收縮，但他們的尺子都與速度方向垂直，不會收縮，應(yīng)當測到相同的值。

設(shè)△x是在S系彈簧伸長，△x’是在S’系彈簧伸長，就有△x=△x’

現(xiàn)在假設(shè)：“每個平衡力之一是單獨遵循相對論力的變換的。設(shè)彈簧在S系受拉力Fz，在S’系受拉力Fz’

在狀態(tài)1，S系與S’系相對靜止。顯然，F(xiàn)z=Fz’由于Fz=k△x Fz’=k’△x’測得△x=△x’推出k=k’

在狀態(tài)2，S’系相對S系以速度V運動，按平衡力單獨遵循相對論力的變換的假設(shè)，有

由于Fz=k△x Fz’=k’△x’并且已經(jīng)證明狀態(tài)2有△x=△x’所以將Fz、Fz’代入（2）中會有k=由于γ0=（1-＞1所以k’＞k而k’是靜止彈簧的倔強系數(shù)，k是運動后的倔強系數(shù)，所以此結(jié)果說明“彈簧倔強系數(shù)由于運動變小了”。

這個結(jié)果對不對呢？讓我們看另一種情況。

狀態(tài)3：這時甲看到彈簧停止了運動，而乙與電荷仍以速度V向X軸正方向運動，同時乙看到彈簧與甲一起向X軸負方向以-V速度運動。

甲這時想到，彈簧停止了運動，不再是“倔強系數(shù)由于運動變小”，倔強系數(shù)比狀態(tài)2變大了，而A、B物體間斥力不變，彈簧伸長量將變小，這時測得彈簧長度應(yīng)比狀態(tài)2小。

乙這時想到，彈簧運動了，它的“倔強系數(shù)由于運動變小”。而A、B物體間斥力不變，所以彈簧應(yīng)伸得更長，彈簧長度應(yīng)測得比狀態(tài)2變大。

如果真的按他們的想法會測出不同的結(jié)果嗎？我們知道，甲、乙兩個測量員的尺子沿Z軸方向放置長度是相同的，根據(jù)前面的分析對同一根彈簧現(xiàn)在測得的值應(yīng)該相同，由此測量與推斷發(fā)生矛盾。

由于矛盾的存在，前述k=即“彈簧倔強系數(shù)由于運動變小了”肯定是錯誤的，這里我們認定k與k’的值與運動狀態(tài)無關(guān)可使矛盾得以解決。又因為“彈簧倔強系數(shù)由于運動變小了”是“平衡力是單獨遵循相對論力的變換”這一假設(shè)的直接結(jié)果。顯然，“平衡力是單獨遵循相對論力的變換”這一假設(shè)錯誤。我們還可以類似的證明除非認為在不同的慣性系之間平衡力Fz=Fz’，任何其他的變換都會引起矛盾的結(jié)果。

這里我們能得出的唯一結(jié)論是：“平衡力在不同慣性系中是大小不變的”，在我們討論的情況下，彈簧伸長的方向，也就是力的方向，也是不變的。于是，我們得到了平衡力不變的原理。

應(yīng)當指出前面的討論，平衡力與彈簧運動方向垂直是較特殊的方向，普遍方向的平衡力不變原理這里就不再討論，以上結(jié)果足夠后面的討論了。

［1］《相對論的意義》A.愛因斯坦著.李灝譯.科學(xué)出版社1961，22-23

李冬雪（1972-），男，漢族，黑龍江省肇東人，中學(xué)一級職稱，本科，湖北襄陽諸葛亮中學(xué)，研究方向：電磁學(xué)。