線段“a+b”型最小值問題例談

黨宗福

摘 要：幾何證明重在訓(xùn)練學(xué)生邏輯推理能力，初中數(shù)學(xué)中線段和差的證明題是中考的難點之一，故在教學(xué)中有的放矢的對學(xué)生進行針對性訓(xùn)練，顯得尤為重要，本文以例為證，總結(jié)了一些基本方法。

關(guān)鍵詞：線段和；最小值；例析

中圖分類號：G632 文獻標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）17-075-01

當(dāng)你徜徉于初中數(shù)學(xué)浩瀚的題海之中時，方知數(shù)學(xué)知識的博大精深與廣泛應(yīng)用，做為教者要想讓學(xué)生面對各種題型，游刃有余，以達觸類旁通，舉一反三的目的，必須交給學(xué)生一些最常規(guī)、最基本的解題方法，筆者認(rèn)為不論題型何等復(fù)雜，但都是憑借基本的數(shù)學(xué)知識點去解決問題的，所以首先要尋找題目中所涉及的知識原型，巧妙地去解決問題。本文以求線段“a+b”型最小值問題例析如下，供同仁參考：

線段“a+b”型最小值問題大都是“兩點之間線段最短”與“軸對稱”兩個知識點的具體運用，解決這類問題的基本方法是：套用軸對稱的性質(zhì)將“a+b”的值轉(zhuǎn)化為一條線段的長度，再利用“兩點之間線段最短”去推理論證。

例題一：如圖，一頭牛在A點處吃草到中午，便要去河L飲水，飲水后再回牛圈點B處休息，請問：牛到河L中哪一點去飲水，使牛走過的路程最短。

分析：用數(shù)學(xué)的眼光看，河L就如同一條直線，本題旨在在直線L上尋找一點P，使PA+PB的值最小。因為牛的始點為A，終點為B，且必經(jīng)過直線L上一點。要達到牛所走的路程最短，根據(jù)“兩點之間線段最短”可知，只要構(gòu)建成“PA+PB=線段”的形式，便可將此問題迎刃而解。

方法是：利用軸對稱知識將問題進行轉(zhuǎn)化，作A點關(guān)于直線L的對稱點C，連接BC交直線L于P點，則線段BC就是所求的線段。

證明如下：

∵A與C關(guān)于直線L對稱

∴線段AC被直線L垂直平分

∴PA=PC

∴PA+PB=CB

根據(jù)兩點之間線段最短便知牛到P點去飲水時所走的路程AP+PB最短。

例題二：如圖，邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD=60。，點E是AB的中點，點P是對角線AC上的一個動點，求PE+PB的最小值。

分析：拋開動點P看定點B和E，因為動點P在AC上，故以AC所在的直線為對稱軸，在圖上尋找定點B和E兩點中那一個點存在關(guān)于直線AC的對稱點，根據(jù)菱形的性質(zhì)不難發(fā)現(xiàn)B和D恰好關(guān)于直線AC對稱。

方法：如下圖，連接DE交AC于P點，再連接BP，則DE=PE+PB，即就是PE+PB的最小值便是線段DE的長度。

證明：連接DE交AC于P點

∵B與D關(guān)于直線AC對稱

∴線段BD被直線AC垂直平分

∴BP=DP

∴PE+PB=DE

根據(jù)兩點之間線段最短，可得PE+PB的最小值就是線段DE的長度

∵四邊形ABCD是菱形

∴AB=AD=2

∵∠BAD=60。

∴⊿ABD是等邊三角形

∵點E是AB的中點

∴DE⊥AB

∴AE=1

根據(jù)勾股定理可得

DE=√3

∴PE+PB最小值為√3

例題三：在正方形ABCD中，E是AB上一點，BE=2，AE=3BE，P是AC上一動點，則PB+PE的最小值是多少？

分析：拋開動點P看定點B和E，因為動點P在AC上，所以以AC所在的直線為對稱軸，在圖上尋找定點B和E兩點中那一個點存在關(guān)于直線AC的對稱點，根據(jù)正方形的性質(zhì)不難發(fā)現(xiàn)B和D恰好關(guān)于直線AC對稱。

方法：連接DE交AC于P點，再連接BP，則DE=PB+PE，即就是PB+PE的最小值便是線段DE的長度。

證明：連接DE交AC于P點，連接BP

∵B與D關(guān)于直線AC對稱

∴線段BD被直線AC垂直平分

∴BP=DP

∴PB+PE=DE

根據(jù)兩點之間線段最短，可得PB+PE的最小值就是線段DE的長度

∵四邊形ABCD是正方形

∴∠BAD=90。 AB=AD

∵BE=2，AE=3BE

∴AE=6 AD=AB=8

∴在Rt⊿EAD中根據(jù)勾股定理可得DE=10

∴PB+PE的最小值便是10

參考文獻：

[1] 張蓓蓓.線段最值問題解法探究[J].中學(xué)生數(shù)理化（嘗試創(chuàng)新版），2014（06）：133-134.