數學，向思維更深處漫溯

張麗

摘 要：“數學教育要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識與技能，更要發揮數學在培養人的思維能力方面不可替代的作用”，這是對數學教育價值的一個深刻闡述。義務教育階段是一個人的思維能力發展的關鍵時期，小學數學課程要為學生的思維能力的發展奠定堅實基礎。要培養學生的思維能力，必須給學生進行數學化思維的機會。為此，教師要精心設置需要學生做出邏輯判斷的問題情境，設計引發學生獨立思考的教學過程，營造引起思維矛盾沖突的交流機會，讓學生充分運用數學化思維發現問題、提出問題、分析問題和解決問題，真正將學生的思維活動有機融入學習過程。

關鍵詞：數學思維；激活；促進；拓展

在小學三年級《數學廣角——重復問題》的教學實踐中，筆者以“激活思維——促進思維——拓展思維”為主線，使學生在數學活動中展現思維過程，在操作體驗中得出理性認識，提煉為數學化的思考，并能轉化為數學應用，有效地培養與發展了學生的數學思維能力。

片斷一：

1. 談話引入：老師了解到幾個小朋友參加特長班學習的情況（課件出示舞蹈班：3人，英語班：4人，但不出現實際姓名）

2. 師追問：一共多少人？說理由，寫出算式3+4=7。

3. 依次念出參加兩個班的學生名單并上臺，數出學生人數，制造沖突。

師：咦，怎么統計出來只有6個人？是我們算錯了嗎？板書：3+4=6？

【分析】巧設情境，在矛盾中激活思維

要培養學生的思維能力，就必須為學生提供進行數學化思維的機會。課始，運用與學生實際相關的“人數”情境，需要學生做出邏輯的思維判斷，但是常規的判斷與現實產生沖突，由此引起學生思維矛盾的交流機會，讓學生充分運用數學化的思維去發現問題，激發其探究欲望，激活學生思維狀態。

片斷二：

1. 分類統計，感受重復

請6位學生上臺，用舉手的方式表示。舞蹈班3人，英語班4人，總人數6人。

學生發現有一人舉了兩次手，提出質疑：不對！楊詩桐舉了兩次手。

師：舉兩次手說明了什么？

生1：楊詩桐學了兩樣。

生2：楊詩桐既參加了舞蹈班又參加了英語班。

師板書：既……又……

出示學生分類名單：

師：我們一起來看看老師的統計表，是不是和你們說的一樣呢？

學生從統計表中發現，楊詩桐的名字出現了兩次，由此感受“重復”，教師板書“重復”。

2. 站隊活動，體驗重復

師：為了讓大家看得更明白，請6位孩子分開站，舞蹈班的站左邊，英語班的站右邊。

學生按要求站隊，出現楊詩桐兩邊跑的情形，最后選擇了站在中間。

師：為什么楊詩桐要站在中間呢？

生1：因為她參加了兩個班。

生2：因為她既是舞蹈班的又是英語班的。

3. 幾何直觀，呈現重復

小組討論一下：有什么辦法能記錄下這樣的站位關系，讓我們一目了然地知道這個孩子既參加了舞蹈班又參加了英語班？

教師根據學生的回答，用三角形在黑板上表示這樣的位置關系（如圖1）。

師：這樣的圖形真能讓大家都看明白嗎？

學生觀察，交流后發現問題：這樣表示，如果不作解釋的話，中間的那個三角形我們不能確定它究竟屬于哪個班。

師：怎樣表示不用解釋，也能讓別人看明白？

生1：可以給每個班劃定一個范圍，三角形就放在那個范圍里。

生2：用圈把它們圈起來，一個圈表示舞蹈班，一個圈表示英語班。

師順勢拿出紅、黃兩個圓圈教具，請一學生上臺演示如何使用這兩個圈表示位置關系。

生表示如圖2：

師再問：這樣可以看明白了嗎？

學生有的說可以，有的說不行。

生：這樣把中間的楊詩桐排除在外了，她既沒在舞蹈班，又沒在英語班。

師：難道沒有辦法了嗎？

小組再次討論，想一想，再在練習本上畫一畫，找到解決問題的辦法。

請一個小組的學生上臺演示討論結果，如圖3：

4. 揭示圖意，理解重復

師：這兩個圈出現了什么現象？為什么將它們交叉重復呢？

生：兩個圈重復了，中間的楊詩桐才能同時在兩個圈里。

師：這一重復，使原來的兩個圈形成了三個部分。

學生交流圖形每一部分所表示的意思，理解“只……沒有……”和“既……又……”的部分。

【分析】體驗探究，在直觀中促進思維

在“自主建構，體驗集合”的環節中，集合圖的形成是教學難點，在學生用語言描述說不清道不明時，便產生了一種強烈的需求：用什么方法可以一目了然地表示出“重復”的現象？

在這樣的需求下，教師設計了以下三個層次的活動。首先，采用舉手、觀察表格、站隊等多種統計活動，讓學生經歷了感受重復、體驗重復的過程，明白矛盾引起的原因，由此引發學生思考，為由情境語言轉化為圖形語言作了良好的鋪墊。其次，通過學生交流，挑起學生質疑，在辯與引中學會用符號與圖形表示，逐步形成集合圖，有效地溝通了情境語言和圖形語言的聯系。最后，憑借直觀的集合圖，理解數量與數量之間包含與排除的關系，在分析圖意、表達圖意的過程中培養學生識圖能力和整理信息、表達信息的能力。

這個過程有效引導學生借助幾何直觀、數形結合，啟迪思路，把復雜的數學知識變得簡明形象。在整個探究活動中，學生一步步揭開并自然而然地建立起重復的概念，然后通過分析圖意、完整描述圖意、分析數量關系，深度理解集合概念的意義，引領學生經歷“猜測——判斷——交流——辨析——評價”的完整思維過程，促進了學生數學思維的發展。

片斷三：

1. 課件出示：舞蹈班4人，英語班5人。討論：你們認為一共有多少人？

生（大多數學生）：一共有9人。

師：9人，可以嗎？

生1：不一定是9個人，萬一舞蹈班和英語班的活動時間不一樣，有一個人既在學舞蹈又在學英語，那就只有8個人了。

師：可能出現重復的現象，是吧？

（許多只小手高高舉起，孩子們急于想表達自己的意見。）

師：看來孩子們的想法不盡相同，請你們在空白的集合圈中畫一畫，然后在小組內交流一下，并算出每一種情況下，參加兩個小組的人數一共有多少人？

學生自己選擇方法在集合圈中表示出參加課外小組的人數，并列式計算，再交流。經過全班整理，依次完善下表：

師：為什么同樣是4人參加舞蹈班、5人參加英語班，結果會出現不同的情況呢？生討論并交流。

生1：重復參加兩個組的人是幾，就減幾。

生2：重復的部分越多，參加兩項活動的人數就越少。

生3：我發現最多只能重復4人，如果重復5人的話，舞蹈班有5個人了。

【分析】鞏固深化，在開放中拓展思維

數學思維過程中具有最高品質、最高層次，而又最可貴的是創造性思維。因此，教師要以學生掌握基礎知識、基本技能、基本方法為根基，設計可以喚醒學生好奇心的“開放性問題”，引導學生打破常規、獨立思考、大膽猜想、質疑問難、積極爭辯、尋新求異，將數學結論還原為讓學生自己經歷抽象和歸納的思維過程，以此拓展學生的思維方式，發展他們的創新思維。

本節課的練習設計選用開課時的情境，避免學生思維不斷轉場。將信息改為“舞蹈班4人，英語班5人，一共有多少人？”鼓勵學生運用所學知識大膽推測與想象：4個人和5個人，一定就是9個人嗎？而解決這一問題，又回歸到探究新知時采用的符號化思想與幾何直觀，讓學生經歷抽象與歸納的思維過程，使學生能用符號與圖形展示出自己不一樣的思維過程，最后在列表總結交流中鞏固完善了學生對“重復問題”和“集合圈”的認知。這類開放題的訓練，讓學生感受到數學的價值與魅力，給學生提供自由的思維發展的時空，激活了學生多角度多層次的思維，增加了思維的靈活性、變通性與創造性，從而有效地拓展了學生的思維能力，增強了學生的創新意識。