凸顯模型思想 觸摸知識本質

湯金娥

乘法分配律是在學生學習了加法和乘法的交換律、結合律的基礎上進一步深入認識的運算律，與交換律、結合律相比較，乘法分配律的算理更抽象，形式多樣，加之它屬于“計算”范疇，內容單調，課堂難以生動有趣。這樣使得乘法分配律的教學成為大家公認的“一杯白開水”。然而，細細琢磨，特級教師張煒執教的“乘法分配律”并非如此。張老師在執教這節課時，著力凸顯模型思想，引導學生在不露痕跡“深度卷入”中敞開思維，產生聯想，課堂生動活潑，學生學得自主，學得自由，從而自然觸摸知識的本質 。

【片段一】創設情境，感受模型

師：同學們，我們今天的學習將邀請老大、老二和老三兄弟三人參加。他們都是種果能手，非常碰巧，他們的果地都是長方形。請先看（出示圖形）老大的果地。（單位：米）

師：看到老大的果地，你能提出有關面積計算的問題嗎？

生：兩塊地的總面積是多少？兩塊地的面積相差多少？

……

師：如何列綜合算式計算兩塊果地的總面積？

生（交流算式）：90×60+90×25，（60+25）×90。

師：比較得數，這兩個等式之間可以寫上什么符號？

生：等號，90×60+90×25=（60+25）×90。

師：（出示圖形）這是老二的果地，請列式計算兩塊地的總面積。（單位：米）。

（學生交流算法。）

師：為什么不合并起來算呢？

生：因為老二的果地是兩塊沒有相等長度邊的兩個長方形，所以兩個圖形也就不能直接合并成一個大長方形。

師：哦，原來是這樣。

師：（出示圖形）請看老三的兩塊地，列式計算出總面積（單位：米）。

（學生交流算法，建立等式：80×60+60×40=（80+40）×60。）

師：為什么老大、老三的果地總面積可以合起來算也可以分開來算？

生：因為老大、老三的果地分別都是有一條邊相等的兩個長方形。

【賞析】課始，教師巧妙設計兄弟三人一起參加學習的情境，喚醒學生已有的經驗，激發學生自主提出問題，并在解決問題中經歷初步感受、思維沖突和前后比較，從而感知有一條邊相等的兩個長方形面積之和就是一種圖形模型，這種模型有相對應的算式，有了幾何直觀的形象支撐，算式的結構特征也就一目了然。

【片段二】自主探索，建立模型

師：剛才同學們根據圖形列出了計算總面積的算式，下面請根據算式在方格紙上畫出相應的圖形。兩塊長方形西紅柿地總面積：80×50+60×50，兩塊長方形黃瓜地總面積：（70+50）×40。

（學生獨立完成后交流展示、解讀圖形中的數據并建立等式：80×50+60×50=（80+60）×50，（70+50）×40=70×40+50×40。）

師：上面的算式左右兩邊相等，你還能寫出更多這樣的式子來嗎？

生：25×30+75×30=（25+75）×30

（84+28）×16=84×16+28×16

……

師：根據以前的學習經驗，你能不能用一個等式將這樣的所有等式都包含進去？

生：（a+b）×c=a×c+b×c。

師：用字母表示非常簡潔。

師：（a+b）×c=a×c+b×c也可以看成是兩個長方形的面積和嗎？（出示下面圖形）如果它是表示甲、乙兩個長方形面積的和，那a、b、c又分別是圖中哪里的長度呢？

【賞析】如果說從圖形到算式是建立等式、發生聯系的過程，那么從算式追溯圖形則是“逼”學生嘗試建立“圖形模型”的過程，是將數學認識從具體經驗向理性層面提升的過程。本教學環節從建立模型的角度出發，設計根據算式畫圖形，“逼”學生進行逆向思維，并通過舉例驗證、解釋說明，從具體問題過渡到抽象概括，使用字母表示乘法分配律自然“呼之欲出”。緊接著教師又乘勢設計根據字母等式聯想圖形，更是把學生的認識再次推向深入，從而進一步觸摸知識的本質，建立起深刻的模型印象。

【片段三】豐富聯想，應用模型

師：同學們已經掌握了（a+b）×c與a×c+b×c相等關系的模型，下面請根據算式聯想。

（1）75×20+25×20

（2）65×（30+1）

（3）45×45+30×50

（4）（200+m）×n

（5）8×+2×

（學生交流想法并展示。）

師：通過計算求有一條邊相等的兩個長方形面積和，我們發現了乘法分配律，那么像80×60+60×40=（80+40）×60（老三果地的總面積）這樣的算式是不是只可以用兩個長方形的面積和來解釋？可用其他事情來解釋嗎？請將等式中的數填入下面的括號里：

一件上衣（ ）元，一件下衣（ ）元，買（ ）件上衣和（ ）件下衣一共要付多少元？

（學生講述填寫數據及具體含義。）

師：能不能將買衣的情節變換成其他事情來解釋。

生：（思考后交流）小明做一個大盒子要用5張卡紙，做一個小盒子要用3張卡紙，做4個大盒子和4個小盒子共要用多少張卡紙？

……

【賞析】本教學片段是學生離開圖形進行算式聯想的環節，這既是對乘法分配律理解的即時檢測，也是更高水平的數學思考。學生通過聯想、比較與辨析，完善自己的數學思考，進一步生動活潑地建構起對乘法分配律的樸素、直接、獨具個性的本質理解。尤其第（3）題雖有相同因數，但與其他算式中的相同因數所在位置不同，是不能直接合并的變式，更讓學生在比較中強化了對乘法分配律的本質與非本質的理解。緊接著教師又適時地向學生拋出根據計算老三果地總面積的算式，聯想用其他事情解釋問題，同時安排一個與學生生活密切相關的買衣情境開放題，讓學生深入思考，最大可能地開發學生的思維?！澳懿荒軐①I衣的情節變換成其他事情來解釋”，則把學生的思維引向更廣闊的天地，充分感受數學模型應用的豐富和簡約。

【片段四】類比展開，拓展模型

師：同學們，課始我們提出了求老大兩塊果地面積相差多少的問題，下面請列式計算。

生：90×60-90×25=3150（平方米），（60-25）×90=3150（平方米）

師：這兩個式子可用什么符號連起來？

生：等號，90×60-90×25=（60-25）×90。

師：你還能寫出更多這樣的等式來嗎？請寫一寫。

（學生交流展示。）

師：如果用字母表示可怎么寫？

生：（a-b）×c=a×c-b×c。

師：老大非常勤勞，最近他又擴建了一塊香瓜地（在原圖上加上一個長90米，寬55米的長方形），怎么計算老大現在果地的總面積？

生：90×60+90×50+90×55=（60+50+55）×90。

……

【賞析】聯想孕育著數學思維與推理，充滿著數學發現與驚喜。在學生理解了乘法分配律的基礎上，教師適時提出由求和類推到求差的問題，讓學生體會到乘法分配律同樣適用于乘法對減法的分配。接著教師又巧妙設計老大擴建果地的情境，讓學生從兩個數聯想到三個數甚至更多數的和與一個數相乘，在豐富的情境拓展中不斷賦予模型“生長”的力量，讓乘法分配的模型既根植于圖形，又不拘泥于圖形，使得用字母表達的乘法分配律有了“豐腴”之美。這樣的學習無疑是一個再創造的過程，不僅讓模型思想得到了有效的滲透，而且使學生形成了豐富的數學活動經驗，掌握了學習數學的方法，觸摸到了知識的本質。如此，日積月累，學生的數學學習能力一定會得到較大的提升，從而有助于學生的可持續發展。

（作者單位：江西省高安市第四小學）

責任編輯 周瑜芽

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