180°的合情演繹

楊勇

人教版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)《三角形內(nèi)角和定理的證明》旨在引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，通過(guò)一題多解、一題多變，體會(huì)思維的多向性，經(jīng)歷從特殊到一般再到特殊的過(guò)程，感受思維實(shí)驗(yàn)和符號(hào)化的理性作用。難點(diǎn)是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用添加輔助線的方法證明三角形內(nèi)角和為180°。筆者在教學(xué)中做了如下嘗試：

一、聯(lián)系先前經(jīng)驗(yàn)，初步感知定理

學(xué)生的認(rèn)知活動(dòng)是建立在先前學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上的，教師在教學(xué)之初要準(zhǔn)確把握學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，找準(zhǔn)學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，為其提供支架，實(shí)現(xiàn)思維現(xiàn)有發(fā)展水平向可能發(fā)展水平的平穩(wěn)過(guò)渡。

教學(xué)伊始，筆者讓學(xué)生回憶小學(xué)階段已經(jīng)知道的“三角形內(nèi)角和等于180°”這一結(jié)論的得出過(guò)程。有的說(shuō)是用量角器量出來(lái)的，有的說(shuō)是將三個(gè)角剪下來(lái)圍繞一個(gè)頂點(diǎn)拼出來(lái)的。筆者肯定了學(xué)生的回答后，引導(dǎo)學(xué)生再次動(dòng)手操作：（如圖1）把一個(gè)三角形的兩個(gè)角剪下，拼在第三個(gè)角的頂點(diǎn)處，用量角器量出∠BCD的度數(shù)，可得到∠A+∠B+∠ACB=180°。當(dāng)學(xué)生對(duì)三角形內(nèi)角和定理有了初步的感知后，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：除此之外，還有什么方法可以證明該定理。學(xué)生在動(dòng)手操作中，開(kāi)動(dòng)腦筋積極思考。

二、引導(dǎo)觀察比較，形成證明思路

教學(xué)中，教師將部分相近或相對(duì)的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)環(huán)節(jié)用類比的方法有意識(shí)地進(jìn)行調(diào)整、組合，使知識(shí)、技能和方法更系統(tǒng)化和概括化，讓學(xué)生在類比中提高分析和歸納能力。

有學(xué)生觀察圖1后發(fā)現(xiàn)了另一種證明思路：（如圖2）將∠A剪下，拼在∠C的頂點(diǎn)處，得出∠MCA=∠A，再用量角器量出∠MCB+∠B=∠MCA+∠ACB+∠B =∠A+∠B+∠ACB=180°。還有學(xué)生指出：（如圖3）把[∠B]和[∠C]剪下，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)拼在一起，同樣可以得出∠B+∠C+∠CAB=180°。筆者引導(dǎo)學(xué)生觀察比較這三種證明方法，想一想如果不用拼角的方法，還有更加簡(jiǎn)便的思路嗎？

三、通過(guò)操作實(shí)驗(yàn)，完善證明過(guò)程

通過(guò)多種方法添加輔助線溝通條件與問(wèn)題之間的聯(lián)系，建立起清晰的思維脈絡(luò)，在操作實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上簡(jiǎn)化思維步驟，充分利用先前知識(shí)經(jīng)驗(yàn)完善證明過(guò)程。

課中，筆者讓學(xué)生通過(guò)畫輔助線的方法再次證明。如圖4，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，結(jié)合平角180°和平行線性質(zhì)定理（兩平行線間同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)），可知：∠A=∠ACE，∠B=∠ECD， ∠A+∠B+∠ACB=∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°。接著，筆者引導(dǎo)學(xué)生類比直角的形象添加輔助線，如圖5所示，學(xué)生過(guò)點(diǎn)B作BD⊥BC，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BC，并作如下證明：∵∠DBC=∠AEC=∠FCB=90°，∴DB∥AE∥FC，∴∠EAB=∠DBA，∠EAC=∠FCA，∴∠CAB+∠ABC+∠BCA=∠EAB+∠CAE+∠ABC+∠BCA=∠DBA+∠FCA+∠ABC+∠BCA=∠DBC+∠FCB=180°。至此，學(xué)生通過(guò)添加輔助線的方式再次證明了三角形內(nèi)角和定理。

（作者單位：紅安縣太平橋鎮(zhèn)馬井中學(xué)）