“找次品”中的推理路徑

劉重慶

《數學廣角——找次品》是人教版五年級下冊的教學內容，正值學生思維方式由具體形象向抽象邏輯過渡的關鍵期。教學中為了有效提高學生的推理能力，實現學生思維方式的轉變，筆者做了以下思考與嘗試。

一、解讀教材，悟推理之定位

數學廣角的內容大多承載著數學思想方法教學的任務。不認真解讀，很容易因為學生理解起來有難度而上成培優課。《找次品》的教學目標是讓學生通過觀察、猜測、實驗、推理等活動，找出用天平找次品的“最優化”方案。

與實驗教材不同，編者將原來的“5”改為“3”，主要目的是讓學生從最簡單的問題入手，初步理解“找次品”的含義，夯實找次品的基本推理過程。推理大前提：“待測物品應該一分為三——即天平左、天平右、天平外”。不同小前提得到不同結論：“如果天平平衡，那么天平外的那一瓶是次品；如果天平不平衡，那么輕的那一瓶是次品。”也就是說，“待測物品為3，只需稱1次”，為后面推理更多待測物品提供數據支持。

二、精心設計，破推理之難點

推理教學的難點在于幫助學生找出一個清晰的思路和推理范式，這樣無論前提怎么變化，學生都可以“以不變應萬變”，頭腦清晰地做出正確判斷。觀察、猜想、實驗驗證是推理的常見思路。

教學中，筆者創設問題情境：3瓶鈣片中有一瓶少了2片（次品），用沒有砝碼的天平稱，至少需要幾次才能找出那瓶次品？學生大膽猜想，有學生質疑：沒有砝碼怎么稱量？有的學生說，可以找出，但至少要稱兩次；還有的學生說一次就可以。這時筆者讓學生拿出事先準備好的模擬天平，動手操作，驗證自己的猜想。學生在多次操作和相互討論后發現：用天平稱時，不管怎么樣，待測物品都分為了3份，左右托盤各放一瓶，如果平衡，次品在天平外；如果不平衡，次品在較輕的那一端。通過一次稱量操作就可以找出三瓶鈣片中的一瓶次品。筆者讓學生將這一重要結論先用文字記錄下來，考慮到純文字表述不利于交流溝通，筆者又讓學生用圖示輔以文字說明的方式再次提煉找次品的思維過程。

至此從3個物品中找次品的推理過程教學告一段落。借助擺一擺、說一說、寫一寫、畫一畫，引導學生的思維由直觀向抽象轉化，夯實好基于大前提，由小前提得到結論，這一推理的基本模式，讓學生從中獲得了科學思維方式的訓練，為后續從較多物品中找次品的教學奠定了良好的基礎。

三、關注學生，重推理之延續

當數據變大的時候，找到次品的過程就不是單一的推理過程，而是需要學生完成一次三段論推理后，繼續分，繼續稱，繼續觀察，繼續推理，直到找到次品，然后通過對多種方案的對比，尋找到最優方案。

“如果數據大一點，是8個物品呢，至少幾次能順利地找出次品呢？”以此為切入點，筆者引導學生分三步進行深入探究。第一步——猜測中，覓“題眼”，激發學生參與驗證的興趣。當學生給出猜測2次、3次或4次時，筆者引導學生抓住題眼——“至少”，則是在保證一定能找出次品的各種方法中，稱量次數最少的那種方案。第二步——活動中，找“方案”，為更復雜的推理提供腳手架。學生討論從8個物品中找次品的時候，提出（4，4），（3，3，2），（2，2，4），（1，1，6）四種方案，教師要求學生找到具體的方案，并簡要記錄，完成表格。學生在討論、記錄中會發現不同的分法需要稱量的次數是不一樣的。第三步——對比中，尋“最優”，讓學生感受自我完成推理的成功感。當學生將四種不同方案呈現在表格中后，筆者引導學生將不同方案進行對比。第一次對比方案一（4，4）和方案二（3，3，2），學生發現：將待測物品分成3份，把天平左、天平右、天平外三個位置都利用起來找的次數少。這也是推理的大前提。第二次對比方案二（3，3，2）、方案三（2，2，4）和方案四（1，1，6），把待測物品分3份，天平左右數量一樣，其余的在天平外，在這個大前提下，根據觀察天平是否平衡——兩個不同的小前提，得到不同的結論。即第一次稱完后，方案二（3，3，2）最不利的情況是次品需要在3個里找，而方案三（2、2、4）、方案四（1，1，6）稱一次后，最不利的情況分別是次品在4個、6個里再找，在3個里找肯定比在4、6個里找容易，雖然都分成了3份，但還得看怎樣分。方案一（4，4）第一次稱完后，還是需要在余下的4個里找。如此對比，讓學生體會到“要想找的次數少，需要把待測物品分成3份，每份盡量平均分”的本質：第一次稱完后，確定次品的范圍越小，稱的次數也就越少。

“9個物品怎樣分，找次品的次數最少？”學生自主探究得出初步結論后，筆者讓學生再用10個、11個去驗證，得出：把待測物體盡可能平均分成3份，稱的次數最少。那么這種方法在待測物品的數量更大時是否也成立呢？學生繼續驗證27個、81個……當面臨數量更大的情形時，學生應用最優思路解決問題，發現81（27，27，27）——27（9，9，9）——9（3，3，3）——3（1，1，1）之間的轉化關系，感悟到最基礎的3（1，1，1）的推理模型的重要性，更體會了從簡單到復雜，一步步推理成功帶來的成就感和愉悅感。

（作者單位：武漢市常青實驗小學）