盤點以線性規劃為載體的試題

安徽省太和中學 岳峻

盤點以線性規劃為載體的試題

安徽省太和中學 岳峻

簡單的線性規劃是考查同學們數學綜合應用能力的重要切入點，特別是以線性規劃為載體，融匯多個知識點于一體的創新試題，逐漸成為體現新課程數學高考“在知識的交匯處命題”這一基本原則的亮點。現分類舉例分析。

題型一：求線性目標函數的最值或范圍

解析不等式組表示的可行域是以A（1，1）、B（0，2）、C（-1，0）為頂點的三角形區域（含邊界，如右圖陰影部分所示），作出直線l0：3x+y=0，平移直線l0，當直線過點A時，z取得最大值，故z=3x+y的最大值為4。

評注此類問題是線性規劃中最為常見的題型，利用轉化與歸納思想，首先把目標函數的代數式化成直線的斜截式方程y=kx+b，然后通過平移直線y=kx，在約束條件的可行域內探求目標函數化成的直線的截距取得的最值或所處的范圍。

題型二：平面區域的面積問題

例2在平面直角坐標系xOy中，已知平面區域A={（x，y）|x+y≤1，x≥0，y≥0}，則平面區域B= {（x+y，x-y）|（x，y）∈A}的面積為。

評注本題需結合平面區域A的約束條件，并通過換元對平面區域B的約束條件進行轉化，然后直接求出平面區域的面積。

題型三:含參數的線性規劃

評注約束條件中含有參數，意味著約束條件是變化的，約束條件所表示的可行域也隨之相應地變化，從而導致目標函數最值的變化。

變式3

題型四：目標函數非線性

方法2當動點（x，y）在線段AB上時，xy取得最大值，此時2x+y=10，

評注此類問題的特點是具有線性的約束條件，但目標函數是非線性的，解決的方法是利用目標函數的幾何意義或不等式等知識來求解。

題型五：與其他知識點的整合

故a2+b2的最小值為4。故選B。

例6已知實數x、y滿足x2+y2≤1，則|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是_________。

解析因為x2+y2≤1，則2x+y-4＜0，6-x-3y＞0，

所以|2x+y-4|+|6-x-3y|=4-2x-y+6-x-3y=10-3x-4y。

令10-3x-4y=z，得3x+4y+z-10=0，

解得z=15或z=5（舍去）。故答案為15。

六、以線性規劃為載體，考查綜合應用能力

例7某企業生產甲、乙兩種產品均需用A，B兩種原料，已知生產1噸每種產品所需原料及每天原料的可用限額如下表所示。如果生產1噸甲、乙產品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業每天可獲得最大利潤為（）。

A.12萬元B.16萬元C.17萬元D.18萬元

平移直線3x+4y=0可得，z=3x+4y在點B（2，3）處取得最大值，即zmax=3×2+4×3=18（萬元）。