柯西不等式要點解讀

安徽省太和中學　岳峻

柯西不等式要點解讀

安徽省太和中學岳峻

柯西不等式是由大數學家柯西發現的經典不等式，它不僅具有簡潔、對稱的數學美感，而且具有重要的應用價值。靈活巧妙地運用柯西不等式，可以使得一些較難解決的問題迎刃而解。

如何破解柯西不等式應用的關鍵點呢？解題者應立足于已知信息和待求（證）式結構的特征，敏銳地捕捉到這些關鍵結構，并對這些結構進行分析，分析常量與變量之間的關系，加以思考、處理，靈活應對。

一、二維形式的柯西不等式

（1）若a、b、c、d都是實數，則（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，當且僅當ad=bc時，等號成立。

（2）（向量形式）設α、β是兩個平面向量，則|α·β|≤|α||β|，當且僅當β是零向量，或存在實數k，使α=kβ時，等號成立。

（4）（三角不等式Ⅱ）若x1、y1、x2、y2、x3、y3∈R，

分析二維形式的柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2的左邊是的結構，而右邊是的結構，即，已知信息a2+b2=5，ma+ nb=5中的代數式ma+nb為乘積之和，具有柯西不等式右邊代數式的結構，而已知信息中的代數式a2+b2與待求最值的代數式顯然都含有平方和，具有柯西不等式左邊兩個代數式的結構，因此令即可。

解析由柯西不等式得（a2+b2）（m2+n2）≥（ma+nb）2，當且僅當an=bm時，等號成立。

點評 在運用柯西不等式時，我們要著眼于已知信息與待解（證）式的結構特點，構造出柯西不等式的形式。

例2已知x、y∈R，3x2+2y2≤6，求2x+y的最值。

解析由柯西不等式可得：

點評 本例展示了柯西不等式的變形應用?？挛鞑坏仁绞且粋€十分重要的解題工具，在應用時，我們要善于構造出柯西不等式的形式，配湊系數，合理變化關系式，并注意等號成立的條件。

二、三維形式的柯西不等式

（1）若a1、a2、a3、b1、b2、b3都是實數，則，當且僅當bi=0（i=1，2，3）或存在實數k，使ai=kbi（i=1，2，3）時，等號成立。

（2）（向量形式）設α、β是兩個空間向量，則|α·β|≤|α||β|，當且僅當β是零向量，或存在實數k，使α=kβ時，等號成立。

例4設x、y、z∈R，若x-2y+z=4。

（1）求x2+y2+z2的最小值。

（2）求x2+（y-1）2+z2的最小值。

（1）已知信息x-2y+z=4中的x-2y+z可以視為乘積之和，

即1×x+（-2）×y+1×z，具有柯西不等式右邊代數式的結構，

待求最值的代數式x2+y2+z2顯然是平方和的結構，具有柯西不等式左邊代數式之一的結構，

因此，可令■=x，●=y，▲=z，

而已知信息x-2y+z=4中，x、y、z的系數分別為1、-2、1，

相應的，令□=1，○=-2，△=1，

所以，［12+（-2）2+12］（x2+y2+z2）≥［1×x+（-2）×y+1×z］2，

即6（x2+y2+z2）≥（x-2y+z）2=16，

（2）待求最值的代數式x2+（y-1）2+z2顯然也是平方和的結構，具有柯西不等式左邊代數式之一的結構，

而已知信息x-2y+z=4中，x、y、z的系數分別為1、-2、1，

相應的，令□=1，○=-2，△=1，

所以，［12+（-2）2+12］［x2+（y-1）2+z2］≥［1×x+（-2）×（y-1）+1×z］2，

即6［x2+（y-1）2+z2］≥（x-2y+z+2）2=36，

故x2+（y-1）2+z2≥6，

當且僅當x=z=1，y=-1時，等號成立。

所以x2+（y-1）2+z2的最小值為6。

點評我們在運用柯西不等式時，不僅要注意它的數學意義，還要注意它的外在形式。當一個代數式與柯西不等式的左邊或右邊具有一致的形式時，就可以考慮利用柯西不等式對這個式子進行縮小或放大。

例5%設a、b、c∈R*。

解析%（1）由柯西不等式，得

（2）由柯西不等式，得

三、n維形式的柯西不等式