對『計數原理』中幾個問題的分析

安徽省合肥一六八中學　陸勇

對『計數原理』中幾個問題的分析

安徽省合肥一六八中學陸勇

“計數原理”是高中數學的重要內容之一，以“計數原理”為背景的試題來源廣泛，其解題過程對思維的條理性提出了較高的要求。本文就計數原理中幾個值得注意的問題進行分析。

一、關于“方法數”的理解

計數原理分為分類加法計數原理和分步乘法計數原理兩種。根據教材中對兩個原理的概括，我們可以認為，計數原理研究的是“完成一件事情的方法數”。何為“不同的方法”？關鍵要看方法之間是否有區分度：只要有區分，就是不同的方法；沒有任何區分，則為同一種方法。

例1 4個小球裝入3個盒子中，要求每盒均不空，則下列幾種情況下各有多少種方法？

（1）球均相同，盒子均相同。

（2）球各不相同，盒子均相同。

（3）球各不相同，盒子也各不相同。

解析（1）因為4個球是相同的，3個盒子也是相同的，則僅唯一一種方法，即一個盒子裝2個球，另兩個盒子各裝1個球。

（2）因為盒子是相同的，而球不一樣，所以我們只需考慮到哪兩個球同盒即可，所以有=6種方法。

（3）盒子與球均不相同，我們既要考慮哪兩個球同盒，又要考慮裝入哪個盒子，所以方法數為=36種。

變式在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎。將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有________種。

分析問題研究的是獲獎情況，那么5張無獎的獎券就是沒有區分度的，我們只需考慮3張有區別的獎券如何分配即可：

二、關于計數原理中的解題原則

排列與組合綜合問題對思維的條理性有著較高的要求，我們在解題時，需要理解如下基本原則。

1.特殊優先原則：在有限制條件的排列組合問題中，有特殊要求的即為“特殊”，包括特殊元素、特殊位置，先考慮有特殊要求的元素（或位置），再考慮其他元素（或位置），這就是特殊優先原則。特殊優先原則在大多數題目中都有所體現。

2.正難則反原則：正難則反是數學解題的基本原則之一，在排列組合問題中也同樣重要。

例2甲、乙、丙等6人中選出3人分別擔任語文、數學、英語科代表，則甲、乙、丙3人至少有1人入選的方法有多少種?

分析我們可以考慮問題的反面，研究甲、乙、丙均未當選情況，有種方法，則滿足條件的 方法數為=114種。

3.先組后排原則：在有限制條件的排列問題中，可以先取出參與排列的元素，再去安排這些元素，這是分步計數原理的典型應用。

例3從5位男實習教師、3位女實習教師中選派3人分別擔任3個班的實習班主任，要求男女都要有，不同的選派方法有多少種？

分析先選出滿足條件的教師，再分配到3個班級，則方法數有（）=270種。

4.模式化原則：針對一些常見的條件，比如相鄰問題、定序問題等，總結出一些固定的轉化模式，這些模式可以作為解題時參考和套用的模式。思考下例并體會模式化的妙用。

例4（1）道路一側排列有10盞燈，為節約用電而又不影響照明效果，要求熄滅4盞，但熄滅的4盞燈不能相鄰且不在兩端，有多少種不同的方法？

（2）一排10個座位，4人入座，要求每個人兩側都有空位，有多少種不同的坐法？

（3）6男4女共10人排成一排，要求女生不相鄰且不排在兩端，有多少種不同的排法？

分析為體會模式化原則的價值，我們倒著分析3個小題。

三、幾個值得注意的解題模式

1.固定間隔的不相鄰問題

不相鄰問題可用插空法解決，相鄰問題則可用捆綁法解決，這是最常規的解題模式。但是對于固定間隔的不相鄰問題，應該用捆綁法解決，將目標元素以及間隔元素選出后捆綁。

例5 7人站成一排，若甲、乙2人之間間隔2人，則方法數有多少？

分析先選出2人，與甲、乙捆綁，然后先外排再內排，方法數為=960種。

2.同一集合中抽取元素平均分組問題

例6（1）將籃球隊10名隊員平均分成2隊，正、副教練各帶1隊，進行對抗賽，有多少種不同的分法？

（2）將籃球隊10名隊員平均分成2隊進行對抗賽，有多少種不同的分法？

分析對于第（1）題，只需正教練在10人中選出5人即可，故方法數為=252種。對于第

由此，我們可以體會到，從同一個集合中每次抽取相同數量的元素，抽取的各組是帶有順序區別的，如果抽取相同數量元素組成無區別的組，就要去除順序帶來的不同。

例7某高校9名免費師范生參加實習，9人中有3名男生，現計劃分為3個實習小組，每組3人，求滿足下列要求的分法各有多少種。

（1）3名男生在不同的組。

（2）3名男生同組。

練習

1.（1）數軸上點A從原點出發，每秒向左或向右移動一個單位，若6秒后移動到刻度2的位置，求點A的移動方法有多少種？

（2）數列{an}中共有5項，其中a1=0，a5=2，|an+1-an|=1，n=1，2，3，4，則滿足條件的不同數列有多少個？

［提示：（1）移動6步，其中2步向左，答案：15種；（2）套用（1）的模式解題，答案：4個］

2.現有2個紅球，3個黃球，4個白球，同色球不加區分，將此9個球排成一排，方法數有多少？

［提示：參考例4的思維模式，答案：1260種］

3.（1）某校在高二年級3個班級開展評優活動，共計5個評優指標，要求每班至少一個指標，指標分配方案有多少種？

（2）上題中，若5個評優指標為2個優秀團員，3個三好學生，則指標分配方案有多少種？

［提示：（1）隔板法，答案：6種；（2）27種］