以小學(xué)數(shù)學(xué)的視野淺議數(shù)形結(jié)合思想

顧春萍

[摘 要]“數(shù)”和“形”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的研究對象，也是貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)教材的兩條主線。數(shù)形結(jié)合既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種解決數(shù)學(xué)問題的有效方法。幾何圖形的優(yōu)點(diǎn)在于直觀形象，便于理解；代數(shù)方法的優(yōu)點(diǎn)在于解題過程的可操作性強(qiáng)，便于把握。因此，以形助數(shù)、以數(shù)想形，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合是學(xué)好小學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想方法。在數(shù)形結(jié)合的教學(xué)中，教師要把握好“感受價值”的目標(biāo)，運(yùn)用顯性學(xué)習(xí)氛圍感受相結(jié)合的載體，處理好數(shù)形結(jié)合過程與結(jié)果的關(guān)系。

[關(guān)鍵詞]小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 數(shù)學(xué)思想 數(shù)形結(jié)合

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）29-063

“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非；切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離！”我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚附以這樣的小詩對數(shù)與形之間的關(guān)系進(jìn)行了很好的詮釋。那么，為什么要重視數(shù)形結(jié)合？它究竟是什么？在平時的教學(xué)中又應(yīng)該怎么做呢？

一、為什么？——追溯一個根源

1.數(shù)學(xué)歷史告訴我們

數(shù)學(xué)思想是從數(shù)學(xué)的各個分支學(xué)科中提煉和總結(jié)出來的研究方法，是形成數(shù)學(xué)概念、探討數(shù)學(xué)規(guī)律、解決數(shù)學(xué)問題的方法。20世紀(jì)80年代以來，數(shù)學(xué)方法論的研究和普及在我國風(fēng)行一時，數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)從結(jié)論轉(zhuǎn)向過程，數(shù)學(xué)問題的解決從解答問題本身轉(zhuǎn)向?qū)忸}思路的探索以及所用的數(shù)學(xué)思想和方法的研究。這種影響也不可避免地波及小學(xué)數(shù)學(xué)，引起人們對小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的研究。

2.數(shù)學(xué)教學(xué)告訴我們

數(shù)學(xué)思想離不開具體教學(xué)，離開了教學(xué)的數(shù)學(xué)思想是空洞的。課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：“教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，處理好講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動探索、合作交流，使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識和技能，體會和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。”

二、是什么？——揭開一個真面

通常認(rèn)為，在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想方法具體表現(xiàn)為三個不同的層次：解決具體問題的思想方法；邏輯方面的思想方法；一般性的數(shù)學(xué)思想方法。而數(shù)學(xué)思想，是數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展所必須依靠的、必須依賴的思想，同時也是學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)的人應(yīng)當(dāng)具備的思想特征。

數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想。數(shù)形結(jié)合就是通過數(shù)（數(shù)量關(guān)系）與形（空間形式）的相互轉(zhuǎn)化、互相利用來解決數(shù)學(xué)問題的一種思想方法。它既是一個重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種常用的數(shù)學(xué)方法。數(shù)形結(jié)合，可將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形相結(jié)合，是抽象思維與形象思維的結(jié)合。有些數(shù)量關(guān)系，借助于圖形的性質(zhì)，可以使抽象的概念和關(guān)系直觀化、形象化、簡單化；而圖形的一些性質(zhì)，借助于數(shù)量的計量和分析，得以嚴(yán)謹(jǐn)化。

數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，也是數(shù)學(xué)思想發(fā)生和凸顯的過程。正是數(shù)學(xué)知識和思想方法的辯證統(tǒng)一性，決定了數(shù)學(xué)思想的教學(xué)要依附于數(shù)學(xué)知識的教學(xué)。數(shù)學(xué)思想方法對研究和應(yīng)用數(shù)學(xué)具有指導(dǎo)意義，學(xué)生一旦掌握將會終身受益。可見，數(shù)形結(jié)合思想是一種在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想。

三、怎么做？——掌握一個方法

1.“形”于“數(shù)”，把握一個本質(zhì)

數(shù)學(xué)研究的是抽象了的東西，這些“抽象了的東西”來源于現(xiàn)實(shí)世界，來源于人們的感性經(jīng)驗(yàn)，是人們通過直觀和抽象得到的。而學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律更習(xí)慣于從直接感知到表象，最后形成科學(xué)的概念本質(zhì)。

例如，在教學(xué)蘇教版 “認(rèn)識萬以內(nèi)的數(shù)”時，教材就利用幾何形體直觀地將計數(shù)單位及相互間的“十進(jìn)制”關(guān)系呈現(xiàn)出來（如圖所示）。

學(xué)生結(jié)合正方體的點(diǎn)、線、面、體的變化，并配以“一粒、一條、一板、一堆”等修飾詞直觀地認(rèn)識計數(shù)單位“一”“十”“百”“千”，從而理解它們間的十進(jìn)制關(guān)系。這部分內(nèi)容較原教材做了改動，整合認(rèn)識千以內(nèi)的數(shù)，直接認(rèn)識萬以內(nèi)的數(shù)。學(xué)生由于數(shù)形結(jié)合的恰當(dāng)好處，對“認(rèn)識萬以內(nèi)的數(shù)”的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了較高的興趣，其效果比抽象地講計數(shù)單位要好得多。計數(shù)單位以這種形式呈現(xiàn)在學(xué)生面前，在學(xué)生的腦海中建立了一定的表象，為以后學(xué)習(xí)與認(rèn)數(shù)有關(guān)的知識奠定了基礎(chǔ)。

“形”于“數(shù)”，能夠把計數(shù)單位間十進(jìn)制關(guān)系轉(zhuǎn)化為學(xué)生活動，大大降低了學(xué)生理解的難度，使學(xué)生在直觀體驗(yàn)中對“數(shù)”的意義有了更加深刻的理解。

2.“形”于“數(shù)”，培養(yǎng)一個能力

心理學(xué)告訴我們：表象介于感知和形成科學(xué)概念之間。在教學(xué)中，教師要抓住這個中間環(huán)節(jié)，發(fā)展學(xué)生的觀念，培養(yǎng)初步的邏輯思維能力，具有十分重要的意義。

例如，在教學(xué)“長方體的認(rèn)識”時，學(xué)生初步認(rèn)識長方體各部分名稱及特征后，教師給出幾組長、寬、高的數(shù)據(jù)，如長、寬、高分別為22厘米、8厘米、3厘米和4厘米、2厘米、1厘米，讓學(xué)生猜猜會是身邊的什么物體。學(xué)生用手勢比劃后知道大約和鉛筆盒、橡皮等相似。

再如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級 “解決問題的策略”時，教師出示例題：“梅山小學(xué)有一塊長方形的花圃，長8米。花圃的長增加了3米，這樣面積就增加了18平方米。原來花圃的面積是多少平方米？”直接根據(jù)條件想象解決問題的方法，對大部分學(xué)生來說必定是有困難的。而這時，如果運(yùn)用畫圖來幫助分析已知條件（如右圖），再尋求解決問題的方法是最合適不過的。在此基礎(chǔ)上，教師將例題再轉(zhuǎn)變?yōu)椤皩挏p少、面積減少，求原面積多少”或“長增加、寬增加，求面積增加多少”的問題。只要學(xué)生掌握了以形助數(shù)的方法，問題就迎刃而解了。

其實(shí)，在解決問題中，我們往往也會借助線段圖來理解題中的數(shù)量關(guān)系，從而解決問題，或者利用韋恩圖表示出問題中的包含關(guān)系，使問題簡單化。從一個個簡單的日常教學(xué)中，我們不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)形結(jié)合，我們一直在使用著，并堅(jiān)定不移地傳授給學(xué)生。學(xué)生在各種潛移默化下，正逐步提升他們的邏輯思維和抽象能力。

3.“數(shù)”于“形”，提升一個思維

例如，在教學(xué)“解決問題的策略——一一列舉”時，學(xué)生大致掌握已知條件和問題后，教師要求學(xué)生通過列舉找出不同的圍法，并從幾種不同的圍法中選擇面積最大的圍法。雖然這是對“形”的研究，但是通過“形”，學(xué)生只能夠粗略地感覺到圖形面積的大小。如何使學(xué)生獲得“在周長一定時，長與寬越接近，面積越大”的規(guī)律？顯然，這時候通過“形”是不能夠加以精確說明的。因此，此環(huán)節(jié)必定要讓學(xué)生通過填寫表格，利用“數(shù)”來計算并解決問題。

學(xué)生通過研究知道：當(dāng)長為6米、寬為5米時，所圍的面積最大。這里，學(xué)生通過對“數(shù)”的研究，對周長以及面積之間的關(guān)系有了更深刻的認(rèn)識。這樣由靜態(tài)的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化成動態(tài)的研究，是促使學(xué)生思維能力提升的推動力，也是以“數(shù)”思“形”的體現(xiàn)。

4.數(shù)形結(jié)合百般好，幾何代數(shù)統(tǒng)一體

數(shù)形結(jié)合，相輔相成。“數(shù)”輔助“形”，以將“數(shù)”形象化；“形”輔助“數(shù)”，以使“數(shù)”直觀化。一個數(shù)學(xué)思想的形成需要經(jīng)歷從模糊到清晰，從理解到應(yīng)用的長期發(fā)展過程，需要在不同的數(shù)學(xué)內(nèi)容教學(xué)中通過提煉、總結(jié)、理解、應(yīng)用等循環(huán)往復(fù)的過程中逐步形成，學(xué)生只有經(jīng)歷這樣的過程，才能逐步悟出數(shù)學(xué)知識、技能中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。而在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多不同知識的內(nèi)容都體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的思想，教師要把握住“數(shù)學(xué)思想”重在“悟”的原則，在教學(xué)內(nèi)容中蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生在反復(fù)理解中螺旋上升，在學(xué)習(xí)過程中感悟數(shù)形結(jié)合思想。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，“形”于“數(shù)”、“數(shù)”于“形”隨時為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供形象的學(xué)習(xí)材料，“形”可以將“數(shù)”抽象的數(shù)量關(guān)系具體化，“數(shù)”可以把“形”的解題思路形象化，不僅有利于學(xué)生順利的、高效率的學(xué)好數(shù)學(xué)知識，更有利于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)、智力的開發(fā)、能力的增強(qiáng)，使教學(xué)收到事半功倍之效。值得注意的是，數(shù)形結(jié)合能使抽象枯燥的數(shù)學(xué)知識形象化具體化，使得數(shù)學(xué)教學(xué)充滿樂趣。我們相信“數(shù)形結(jié)合百般好，幾何代數(shù)統(tǒng)一體”定將給學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)帶來一片光明。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 金成梁.小學(xué)數(shù)學(xué)疑難問題研究[M].江蘇：江蘇教育出版社，2010.

[2] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[3] 吳正憲，王彥偉，韓玉娟.吳正憲給小學(xué)數(shù)學(xué)教師的建議[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2012.

（責(zé)編 李琪琦）