高中數學解題中圓系方程的應用分析

林永星

摘 要： 高中數學具有較強的邏輯性要求，題目的綜合性比較明顯，將圓系方程運用于高中數學解題過程中，能夠在一定程度上降低數學題的難度，幫助理解和分析題干，進而提升學生的解題正確率.本文主要探討圓系方程在實際數學解題過程中的運用，列舉了幾個高中數學的經典題型，進行詳細分析.關鍵詞： 高中數學 解題 圓系方程 應用

圓系方程的主要運用方式是將參數與圖像相結合，以便于加深學生對題干的理解.在幾何題解題過程中，適合既定條件的圓構成了一個圓系，一個圓系的共同形式的方程稱之為圓系方程.將圓系方程運用于高中幾何題型中，能幫助有效解決幾何問題，提高解題效率.因此，有必要對圓系方程在數學解題中的具體應用進行研究和探討.

一、借助圓系方程求圓的方程

高中數學具有一定的邏輯性和抽象性，學生在學習過程中若不是全身心投入，則很容易將各項概念和性質等混淆，導致教學效率不高.教材中關于求圓的方程式的內容和經典題型比較多，但一般的解題思路是通過已知條件求得圓的半徑和圓心標之后，再得出圓的方程式.這種方法的操作比較麻煩，不利于學生在考試過程中使用.并且過長的計算時間容易導致學生在解題過程中出現計算錯誤或常識性失誤等.若借助圓系方程，則可首先假設適合已知條件的圓系方程，列出含有未知數l的相關參數，并依據題干給出的條件進行運算，求出直徑l的值，這樣，運算量明顯減少.

在給出的解題參考中，先對兩圓的交點坐標進行求解，再假設方程，將已知的點直接代入，借助待定系數法求得待定系數的值，最后得出圓的方程.相比之下，圓系方程的運用，減少了解題耗費的時間.需注意的是，實際解題過程中，學生切不可不認真審題就直接采用圓系方程求解.使用圓系方程的基本前提是了解題干及潛在解題條件，充分分析完題干，再選擇求解方式.

二、求兩圓的公共弦或兩圓的公切線方程

針對這一類型數學題，一般解題思路是將兩圓的方程看做F（x，y）+λG（x，y）=0，取λ的值為-1，則可解答方程，這種解題方式相對比較簡單.由于教材中沒有涉及具體圓系方程的知識點，可將其轉換為一般式方程之后聯立，將兩個方程式相減，可得到兩圓的公切線方程.一般情況下，借助圓系方程解決此類問題，需首先確定兩圓的位置關系，再進行下一步的計算.

例2：已知圓C：x+y+2x+8y-8=0，圓C：x+y-4x-4y-2=0，求兩圓的位置關系.

根據教材內容可知，兩圓存在不止一個公共點.此題的解題關鍵是確定兩圓的位置關系，在清楚了位置關系之后，即可借助圓系方程，求出兩圓的公共直線的方程式.此時可知公共弦的方程式為x+2y-1=0.

此時需注意的是，若無法準確判斷兩圓的位置關系，經過計算所得的直線方程，不能直接將其界定為公共弦，或者公切線方程.學生在實際解題過程中應認真理解題干和要求，有效利用已知條件及蘊含條件進行解題.

通過圓系方程的運用，簡化了原本需要聯立方程式和計算的過程，大大縮短了解題時間.同時，此題運用圓系方程解題的正確率更高，學生不易由于數字特征而產生常識性失誤.

三、借助圓系方程判斷直線與圓的位置關系

高中數學中，要求對直線與圓的位置關系進行判斷，是比較常見的題型.教材中給出了代數解題法和幾何解題法兩種，代數法需要對方程進行消元處理，繼而得到一元二次方程，這一方法的計算量比較大，學生容易在解題過程中發生計算錯誤等問題.因此，解題過程中可盡量不用代數法.幾何法相對更簡單一些，首先求出圓心距直線的距離d，再將半徑r與直線d進行大小判斷，通過兩者的關系確認，進而判斷圓與該直線的位置關系.但幾何法大多運用于比較簡單的問題.針對部分比較難的問題，借助圓系方程進行解答準確性更高，也更簡便.

例3：圓系方程x+y+2kx+（4k+10）y+10k+20=0（k∈R，k≠-1）中，求任意兩個圓的位置關系.

此題中的圓系方程可轉換為x+y+10y+20+k（2x+4y+10）=0；

由方程2x+4y+10=0，以及x+y+10y+20=0，可知該方程表示的直線與圓呈相切的關系.

因此，可得該圓系方程表示的兩個圓有一個公共點.

四、借助圓系方程求最小面積的圓的方程

高中數學中，求最小面積或最大面積的圓的方程的題型比較常見，常規的解題方法也相似，即只要知道滿足圓的最小面積的半徑的方程式即可.而將圓系方程運用于這類題型中，解題過程則更加簡單.

例4：求經過兩圓x+y=5，（x-1）+（y-1）=16的交點，且面積最小的圓的方程.

此題若采用常見的解題方法，需首先聯立方程，求得兩圓的交點.再設所求的對象圓的方程，在其中發現各項變量之間的關系，最終獲得半徑的最小值.這類解題方法有一定的可行性，但解題所需時間較多.借助圓系方程則可減少運算所需的時間，提高解題效率.

兩圓相交直線的方程式為2x+2y-11=0，則經過直線2x+2y-11=0與圓x+y=5相交的點的圓系方程為x+y-25+l（2x+2y-11）=0，為了求得最小半徑，兩圓的相交直線須為所求的圓的直徑；

因此圓心坐標為（-1，-1），在弦2x+2y-11=0上，所以l=-，所求的圓的方程表示為（x-）+（y-）=.

需注意的是，在高中數學題中，通常求最小面積的圓的方程與求最大面積的圓的方程的題型比較多，兩者有相似之處.

高中數學題一般具有較強的綜合性，對學生邏輯思考能力和解題思維都有所要求.將圓系方程運用于高中數學解題過程中，通過簡化題干、設已知條件等方式，不僅能夠減少解題所耗費的時間，簡化解題程序，還能夠促使學生能夠在更短的時間內完成解題.并且，在不斷的訓練和解題過程中，學生逐漸養成較強的邏輯思維和解題習慣，進而促進數學成績的提高.此外，教師應引起注意，積極尋找解決該類問題的途徑，從而使學生在考試當中獲得理想的成績.

參考文獻：

[1]王慎.圓系方程在高中數學解題中的應用[J].數理化解題研究（高中版），2015，07：12.

[2]毛芹.圓錐曲線參數方程在高中數學解題中的應用[J].理科考試研究，2014，05：27.

[3]雷鵬.圓錐曲線參數方程在高中數學解題中的應用[J].學周刊，2016，09：134.