一道書本習(xí)題的探究性學(xué)習(xí)

季蕓潔

[摘 要] “臃腫”的數(shù)學(xué)課堂需要“瘦身”，數(shù)學(xué)教師必須緊緊抓住課堂教學(xué)是為了學(xué)生的思維發(fā)展服務(wù)這一中心，追求簡(jiǎn)約的教學(xué)過程，讓數(shù)學(xué)教學(xué)輕裝上陣，以提高課堂教學(xué)的實(shí)效性.

[關(guān)鍵詞] 探究性學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；實(shí)效性

新課程理念忽如一夜春風(fēng)，吹遍了大江南北. 數(shù)學(xué)課堂一改過去的煩瑣分析、串講串問，取而代之的是師生對(duì)話、合作交流……我們的數(shù)學(xué)老師驀然發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該給予學(xué)生全方位的關(guān)注與提升. 于是，知識(shí)與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀，成為每節(jié)數(shù)學(xué)課都追求的目標(biāo). 老師們甚至希望，一節(jié)課就使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到全面的提升. 所以，在課堂堂上呈現(xiàn)的是多元的教學(xué)目標(biāo)、豐富的教學(xué)內(nèi)容、紛繁的教學(xué)環(huán)節(jié)和教學(xué)方法，這一切圍繞文本展開的數(shù)學(xué)活動(dòng)使每個(gè)孩子熱情高漲、狀態(tài)頗佳. 然而，一節(jié)課結(jié)束，學(xué)生似乎學(xué)會(huì)了許多，但又似乎什么也沒有真正學(xué)會(huì). 反思新課程背景下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，筆者感到，“臃腫”的數(shù)學(xué)課堂急需要“瘦身”，我們必須緊緊抓住課堂教學(xué)是為了學(xué)生的思維發(fā)展服務(wù)這一中心，追求簡(jiǎn)約的教學(xué)過程，讓數(shù)學(xué)教學(xué)輕裝上陣，以提高課堂教學(xué)的實(shí)效性.

筆者最近和學(xué)生一起對(duì)一道書本習(xí)題進(jìn)行了多角度的探究，這是一次非常愉快的探究過程，以下是筆者的課堂探究過程，寫成拙文和同行分享.

[問題] （蘇教版必修五P24第6題）如圖，已知∠A為定角，點(diǎn)P，Q在∠A的兩邊上，且PQ為定長，當(dāng)P，Q處于什么位置時(shí)，△APQ的面積最大？

筆者標(biāo)記了∠A=θ，PQ=a，先讓學(xué)生獨(dú)立操作這道題，10分鐘后將兩位學(xué)生的解題過程投影出來一起分析.

學(xué)生1的解答過程：

解：設(shè)∠AQP=α，由正弦定理可知==，

所以AP=，AQ=，

所以S△APQ=AP·AQ·sinθ=···sinθ=·sinαsin（α+θ）.

因?yàn)閟inαsin（α+θ）=sinα（sinαcosθ+cosαsinθ）=cosθsin2α+sinθsinαcosα

=cosθ+sinθsin2α=·cosθ+（sinθsin2α-cosθcos2α）

=cosθ-cos（2α+θ），

所以S△APQ=[cosθ-cos（2α+θ）].

當(dāng)α=（π-θ）時(shí)，（S△APQ）==.

學(xué)生2的解答過程：

解：設(shè)AP=x，AQ=y，由余弦定理可知x2+y2-2xycosθ=a2.

因?yàn)閤2+y2≥2xy（當(dāng)x=y時(shí)，取“=”），

所以2xy-2xycosθ≤a2，

所以xy≤（當(dāng)且僅當(dāng)x=y=取等號(hào)），

所以（S△APQ）max==.

教師：誰來點(diǎn)評(píng)下這兩種解法？

學(xué)生3：我是用生2的做法，所以我覺得他的解法比較好. （其他學(xué)生哈哈大笑）

教師：你能具體說說你的想法嗎？

學(xué)生3：因?yàn)镾△APQ=AP·AQ·sinθ，所以只要求出AP·AQ的最大值就可.

教師：不要都講好話嘛，我們也要談?wù)勊麄兘夥ㄖ械牟蛔懵铮〈蠹乙黄饋碚也绨桑。▽W(xué)生們哈哈大笑）

學(xué)生4：學(xué)生1的解答中sinαsin（α+θ）的變形可以簡(jiǎn)單一點(diǎn).

因?yàn)?sinαsin（α+θ）=cos[α-（α+θ）]-cos[α+（α+θ）]，

所以sinαsin（α+θ）=[cosθ-cos（2α+θ）].

教師：很好，能夠用辯證的眼光看待角與角之間的關(guān)系，有進(jìn)步. 誰再來談?wù)剬?duì)這兩種解法的看法.

學(xué)生5：學(xué)生1是引進(jìn)角變量α來分別表示AP和AQ，然后從函數(shù)角度求出AP·AQ的最大值，學(xué)生2是把AP·AQ看成一個(gè)整體，應(yīng)用基本不等式求出AP·AQ的最大值.

教師：分析得蠻深刻，其他同學(xué)還有更好的解法嗎？

學(xué)生6：我認(rèn)為當(dāng)AP=AQ時(shí)，△APQ的面積最大，此時(shí)PQ邊上的高h(yuǎn)==，

所以（S△APQ）max=a·=.

教師：你能給大家說說這樣做的理由嗎？

學(xué)生6：我是猜的（下面有幾位同學(xué)也紛紛表示他們也是這樣做的），因?yàn)槲野l(fā)現(xiàn)P，Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是相互制約的，所以猜測(cè)當(dāng)AP=AQ時(shí)，△APQ的面積最大.

教師：非常好，你的這種猜測(cè)非常有意義，你這種直覺思維（伊恩·斯圖加特說：“直覺是真正的數(shù)學(xué)家賴以生存的東西”，許多重大的發(fā)現(xiàn)都是基于直覺）非常值得我們其他同學(xué)學(xué)習(xí)！（我連用了三個(gè)非常來表揚(yáng)這位同學(xué)，是因?yàn)槲野l(fā)現(xiàn)我們很多時(shí)候的數(shù)學(xué)探究過程拋棄了直覺思維，而直接進(jìn)入推理演繹階段. 我個(gè)人認(rèn)為脫離直覺思維的探究過程是一個(gè)失敗的探究過程！）但是，在解答題中用這種方法理由肯定是不充分的. 請(qǐng)大家思考下，誰能夠幫助學(xué)生5找出一個(gè)充分的理由呢？

5分鐘過去了，教室里面依然非常安靜，但每個(gè)人都在積極地思考著. 似乎進(jìn)展很不順利！

教師：大家有什么好的想法了嗎？（沒有回應(yīng)）那大家感覺麻煩在什么地方？

學(xué)生：P，Q兩點(diǎn)都在運(yùn)動(dòng).

教師：大家注意到PQ為定長了嗎？要使得△APQ的面積最大，其實(shí)只需要哪個(gè)量最大？

學(xué)生：只要求出PQ邊上的高的最大值.

教師：對(duì)于兩個(gè)不同狀態(tài)下的△APQ和△AP1Q1，他們除了都是同角對(duì)等邊，還有什么共同特征？

學(xué)生7：由可得△APQ和△AP1Q1的外接圓半徑相同.

教師：非常準(zhǔn)確！既然外接圓的半徑是相同的，那么這個(gè)問題能不能轉(zhuǎn)化在圓內(nèi)進(jìn)行研究的問題，請(qǐng)大家討論下.

經(jīng)過3分鐘左右的討論，有成績比較好的學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)這個(gè)問題的本質(zhì).

學(xué)生8：已知PQ是圓O的一條定弦，點(diǎn)A在優(yōu)弧PQ上運(yùn)動(dòng)，求△APQ面積的最大值.

教師：學(xué)生8提出的問題和本題本質(zhì)相同嗎？有沒有地方需要修正的？

學(xué)生9：我覺得圓O的半徑必須要定下來，這樣才能保證∠A為定值.

教師：那半徑是多少呢？

學(xué)生9：半徑應(yīng)該是.

教師：你能把今天我們研究的這個(gè)問題完整地?cái)⑹龀鰜韱幔?/p>

學(xué)生9：已知PQ是半徑為（θ為銳角）的圓的一條弦，且PQ=a，點(diǎn)A在優(yōu)弧PQ上運(yùn)動(dòng)，求△APQ面積的最大值.

教師：請(qǐng)你把過程在黑板上寫出來.

若θ∈0，，則由圖3易知，（S△APQ）max=a·+cosθ=.

教師：學(xué)生9完成得非常出色，其他同學(xué)覺得還有需要補(bǔ)充的嗎？

學(xué)生10：學(xué)生9只討論了點(diǎn)A在優(yōu)弧PQ上運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)A在劣弧PQ上運(yùn)動(dòng)，應(yīng)該是另外一種情形.

已知PQ是半徑為（θ為鈍角）的圓的一條弦，且PQ=a，點(diǎn)A在劣弧PQ上運(yùn)動(dòng)，求△APQ面積的最大值.

若θ∈，π，則由圖4易知，（S△APQ）max=a·-cos（π-θ）=.

教師：很好，考慮問題很全面，已經(jīng)有發(fā)散性思維了！數(shù)學(xué)意識(shí)增強(qiáng)了嘛！

課后感悟

簡(jiǎn)單，意味著在課堂上我們要放棄一切與學(xué)生思維無關(guān)的行為；簡(jiǎn)單，意味著我們的教學(xué)要確定簡(jiǎn)明的教學(xué)目標(biāo)，選擇簡(jiǎn)約的教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)簡(jiǎn)潔的教學(xué)環(huán)節(jié)，采用簡(jiǎn)便的教學(xué)方法；簡(jiǎn)單，意味著學(xué)生因喜歡而輕松愉快、積極主動(dòng)地欣然接納！而數(shù)學(xué)教學(xué)也只有簡(jiǎn)約、沉靜下來，我們才能夠看清數(shù)學(xué)教學(xué)的廬山真面目. 所謂“大道至簡(jiǎn)”，大概就是這種境界！