尋覓“留白”契機，靜待思維花開

孫紅娟

[摘 要] 數學課堂教學是一門藝術，課堂中教師要抓住“留白”契機，在導入處留白、重難點處留白、認識沖突時留白、自我小結時留白，讓學生發現問題和提出問題，通過自主思考和合作學習等方式生解決問題，使思維過程在課堂上得到充分的展現. 教學實踐中掌握一定的留白技巧和方法，可以增強教學的藝術性，使課堂更精彩.

[關鍵詞] 課堂留白；自主發現；合作探究；放飛思維

留白，是國畫的一種手法，即在整幅畫中留下空白，計白當黑，可創造出虛實相生、形神兼備的藝術境界，留下空白，以無勝有，讓人浮想，叫人回味.課堂教學也是一門藝術，是否也需要“留白”？

江蘇省教育科學研究院李善良教授曾說過，數學教學的核心是理清每節課的主線：①知識的主線；②知識生成的主線；③學生思維的主線，而學生思維的主線是第一位的.筆者前段時間參加了江蘇省優質課比賽，在準備過程中，筆者根據李教授的觀點一直在思考學生已經會什么知識，學生能通過預習自己解決哪些知識，學生會認為哪處是難點. 而現代課堂要放飛學生思維，教師在課堂上就不能“滿堂灌”，在適當處“留白”，給學生探索、思考、動手、閱讀的機會. 根據這樣一種教學理念，針對函數y=Asin（ωx+φ）的圖象，筆者設計了以下教學思路.

導入處留白——激起思維

課堂實錄片段一

1. 引入

①（播放flash動畫——彈簧振子做簡諧運動）

教師問：彈簧振子做簡諧運動時，位移s與時間t所描繪的圖象，它與我們學過的什么函數圖象類似？（給學生一定時間觀察，讓學生聯想具備“周而復始”這種性質的函數，感受其“周而復始”的周期性.）

眾生：正弦函數y=sinx的圖象.

教師：實際上，物體做簡諧運動時，位移s與時間t的關系式都可以寫成s=Asin（ωt+φ）的形式，其中A，ω，φ為常數，A>0，ω>0.

2. 三個量的物理意義

教師：在s=Asin（ωt+φ）（其中A>0，ω>0）中，A是物體離開平衡位置的最大距離，稱振動的振幅；往復振動一次所需的時間T=成為這個振動的周期；單位時間內往復振動的次數f==稱為振動的頻率；ωt+φ稱為相位，t=0時的相位φ稱為初相.

對這幾個量的物理意義，同學們記住了嗎？（給學生留出一分鐘的記憶時間.）

【檢測1】 若函數y=3sin2x-表示一個振動量，則這個振動的振幅為______，周期為______，？搖頻率為______，相位為______，初相為______. （生齊答）

【設計意圖】 數學的學習特別強調新知識產生的背景，從學生的現有知識出發，引導學生感知數學知識的產生和發展是水到渠成的.直觀性的生活實例引入，能拉近數學與現實的距離，激發學生的求知欲，調動學生主體參與的積極性.

對于這個函數模型學生比較陌生，對于幾個量的物理意義，學生第一次接觸，此時“留白”讓學生記憶這些量的物理意義，可減少卡殼現象，增加學生信心，為后續的學習奠定基礎.

教學重點處留白——放飛思維

教學重點是學生必須掌握的基礎知識與基本技能，是基本概念、規律及方法，可以稱為學科教學的核心知識.函數y=Asin（ωx+φ）的圖象及參數A，ω，φ對函數圖象的影響是本節課的重點，在解決這個問題的過程中貫穿了由簡單到復雜、特殊到一般的化歸數學思想. 同時還力圖向學生展示觀察、類比、歸納、聯想等數學思想方法. 筆者通過以下幾個環節力求突出這一重點.

課堂實錄片段二

1. “化繁為簡”，制定方案

教師問：這個解析中含有三個參數，如何研究φ，A，ω對函數圖象的影響呢？

學生1：三個參數分開研究.

教師：想法很好，我們可以分而治之，逐個擊破.比如我們先研究參數φ，那么A和ω的值怎么處理呢？

學生2：可以令A=1，ω=1.

教師：很好，我們可以再“退”.

（留白，讓學生體會，回答，對于另外兩個量研究順序可以讓學生來定.）

【設計意圖】

在教學中教師不在于全盤授予，而在于相機誘導. 對一個問題的提出，教師要給學生留有自主探究的思維空間.首先，面對多變量問題，學會通過控制變量的個數將復雜問題簡單化. 偉大的數學家華羅庚說：“要善于‘退，足夠地‘退，‘退到最原始而不失重要的地方，是學好數學的一個訣竅！”這里的“分而治之、逐個擊破”就是“退”的方法. 從而讓學生體會從簡單到復雜的研究問題的一般方法. 其次，讓學生去規劃研究思路，重在引導學生思考解決問題的方法，激發學生學習的迫切欲望，點燃學生思考的烈焰，以此培養學生宏觀分析問題、細化問題的能力.

2. 層層遞進，探究結論

對函數y=Asin（ωx+φ）的圖象的研究，授課時通過五點作圖和幾何畫板幫助學生更好地觀察規律，最后形成對圖象變化的具體認識，然后再推廣到一般情形. 這樣安排既化解了難點，又讓學生有清晰的討論線索，從中能使學生學習如何將復雜的問題分解為簡單的問題并“各個擊破”，然后“歸納整合”，培養學生思考問題有條理的習慣，有利于培養他們的邏輯思維能力.

課堂實錄片段三

探究1：函數y=sin（x+φ）（φ≠0）的圖象與函數y=sinx的圖象的關系

教師：我們首先研究由函數y=sinx的圖象通過什么變換可以得到函數y=sin（x+φ）（φ≠0）的圖象.

眾生：左加右減（學生熟知）

教師：為什么φ>0時，圖象向左平移？φ<0時，圖象向右平移？

（很多學生陷入沉思，然后學生之間會小聲議論，此時老師并不急切地要結果，而是引導學生從特殊函數入手去研究，給學生留有思考和探究的時間，學生會進入“自求得之”的“忘師”境界，樂意去學，去思考.）

教師：我們先從特殊函數入手，y=sinx和y=sin（x-），請同學們在剛發的探究案上快速完成列表，作出一個周期內的圖象，并觀察兩個圖象有何關系？

（留白，給學生留5分鐘時間列表，作圖，并觀察圖象關系. 此時老師應該多關注學困生的列表作圖情況.）

（通過作圖和動畫展示，并引導學生通過列表中的點的坐標來解釋變換，相同的橫坐標時看縱坐標的變化，借助“特殊到一般”的思想方法發現規律.）

板書：

y=sinxy=sin（x+φ）.

教師：如何規范表述這種變換呢？（學生齊讀課本35頁中的“變換規律”，強化語言的規范表述.）

教師補充板書：“所有的點”（強調“所有的點”都發生了變化）.

教師：你學會規范表述了嗎？（試一試.）

【檢測2】

（1）將函數y=sin（x-1）的圖象_______，可以得到y=sinx的圖象.

（2）將函數y=f（x）的圖象________，可以得到y=f（x-1）的圖象.

（留點時間讓學生自己敘述，然后生4、5嘗試規范回答.）

【設計意圖】

1. 通過復習五點法作圖，讓學生體會“整體”的思想；從而引導學生說明“為什么φ>0時，圖象向左平移？φ<0時，圖象向右平移”，在探討這個問題中，很多學生停留在舊知識層面上，如“數軸左負右正”，極易混淆. 此時幾處短時間的留白，老師巧妙地設置了臺階，從具體函數y=sinx和y=sinx-入手研究，讓學生列表，作圖，觀察規律，從形上說出圖象變換是圖象上每點的位置變化，從列表中觀察出點的坐標變化進而從點的坐標來理解所有點的變化，可以讓學生真正地參與到學習過程中來.

2. 通過齊讀課本和練習，讓學生規范語言表達能力，并讓學生理解三角函數的平移變換實際上是一般函數平移變換的特例，做到知識的同化與順應.

3. 而對于另外兩個參數的探究，更多時間的留白可放手給學生獨立研究、分組探究、展示交流、相互印證的方式來完成. 安排如下：

探究2：探究函數y=Asinx（A>0）的圖象與函數y=sinx的圖象的關系，探究函數y=sinωx（ω>0）的圖象與函數y=sinx的圖象的關系.

1. 學生探究，教師巡視.

教師：請在同一直角坐標系中分別作出學案上另兩組函數一個周期內的圖象.

①y=sinx，y=3sinx，？搖y=sinx；

②y=sinx，y=sin2x，y=sinx.

教師：結合以下三個探究步驟觀察比較另兩組圖象間的關系，并總結變換規則.

①“五點”作圖；②觀察比較；③總結規律

2. 學生展示各組圖象的探究成果，教師點評.

從“形”的角度得到結論；從“數”的角度解釋結論；兩者結合總結一般結論（強化語言的規范表述）；

得到一般函數y=f（x）與y=Af（x）圖象的關系與一般函數y=f（x）與y=f（ωx）圖象的關系.

【設計意圖】 根據建構主義學習理論“學習不是由教師直接傳遞給學生，而是由學生自己主動建構知識的過程，這種建構無法由他人來替代”，本階段第一個規律憑借提問和追問，巧設臺階，讓學生把握正確的探究方向. 第二個和第三個規律留足學生自主發現與探究展示的空間，通過數形結合，借助圖象觀察，發現、總結一般規律，培養學生的“問題意識”，在探索中學會將“知識問題化”，大膽、合理地提出猜測，通過證明、完善，最終達到將“問題知識化”的目的. 在探究過程的節點處，又讓學生開口表述，可以讓學生在頭腦中整理思路，加深了對數學知識的理解，同時也訓練學生數學語言的組織表達能力. 課堂中我們要舍得留白，耐得住等待，等待學生學會探究知識的方法，這樣做有利于充分暴露學生的思維，鼓勵學生對出現的不同結論進行探討，找出問題的正確解答，對于教師，也要抓住學生的想法及時引導，有效駕馭課堂.

認識沖突時的“留白”——升華思維

學生的困惑是知識的生長點，也是教學的出發點、立足點，只有最大限度地消除學生知識上的困惑的教學才是真正有效的教學. 對函數y=Asin（ωx+φ）的圖象的研究，在從一個參數上升為兩個參數時，是學習中的難點. 為了突破難點，筆者把發現留給學生，把時間留給學生，把講臺留給學生，讓學生通過獨立思考、自主探索、合作交流的學習方式，在思考交流中解決問題.

課堂實錄片段四

【問題1】 通過剛剛的探究，我們已經由y=sinx的圖象，通過圖象變換可以得到y=sin2x的圖象，那么想得到函數y=sin2x-的圖象，又該做怎樣的變換？請同學們描述具體變換？（留出一分鐘的思考時間，然后生作答.）

學生1：（基于思維定式，錯誤套用法則）將函數y=sin2x的圖象，向右平移個單位，就可以得到函數y=sin2x-的圖象. （大多數學生點頭.）

學生2：我不贊同他的觀點，我認為應該將函數y=sin2x的圖象，向右平移個單位，就可以得到函數y=sin2x-的圖象. （很多學生露出驚訝的神色.）

（老師根據學生說的兩種步驟分別板書.）

教師：根據兩位學生所敘述的兩種不同的步驟，我們用幾何畫板作圖，同學們看看，變換之后的圖象還一樣嗎？

（學生觀察后）生齊答：不一樣.

教師：看來大家在這個地方遇到了一點問題，遇到問題不可怕！大家敢于表述自己的觀點是非常值得表揚的.那么同學們一起討論交流：問題出在哪？如何做出解釋？

（此時留出五分鐘時間，讓學生討論交流.）

學生3：還和前面方法一樣，我們組從點的坐標角度來分析：

y=sin2x y=sin2x-

點M（x0，y0） 點Nx0+，y0

故向右平移個單位是正確的.有不同的想法嗎？

學生4：我們組同意他們的觀點，但是我們組認為只要將x前的系數提取出來，就可以很快看出來了，y=sin2x-=sin2x-，然后看x本身發生的變化就可以了. 還有其他想法嗎？

（多數學生露出質疑不解的神色.）

學生5：我再補充下上個同學的觀點，如果將函數y=sin2x記為y=f（x）=sin2x的圖象，那么y=sin2x-=sin2x-=fx-，這樣由y=f（x）的圖象通過向右平移個單位可以得到函數y=fx-的圖象. 同學們，這樣好理解了嗎？

（學生露出笑容，立刻爆發出熱烈掌聲.）

教師：很好. 三位同學表述得非常清晰，分別從坐標的變化和一般函數的角度解釋了這樣變換：左右平移只對x本身發生了變化. 那么我們將開始的這位同學的作答訂正一下，將函數y=sin2x的圖象，若向右平移個單位，應該可以得到函數y=sin2x-=sin2x-的圖象.

【設計意圖】

心理學家布魯納指出：“教學過程是一種提出問題和解決問題的持續不斷的活動.” 而本課中兩個參數復合對函數圖象的影響，“相位變換與周期變換”次序改變，其中平移的量、周期變換的量的確定，不少學生理解上有困難，很容易混淆，構成教學的難點. 對于這部分知識，很多學生機械地套用法則，而不理解算理，新知識沒有成為學生“自己的可用知識”，只能仿效，致使發生錯誤. 這些錯誤更易引起學生的警惕與清醒，對學生的心理智力產生刺激，更能激起學生強烈的探索欲望. 《論語》言：“不憤不啟，不悱不發！”這里正是通過學生的回答和圖象上的直觀否定使學生感覺“有惑而無解”，而任何眉飛色舞、精辟絕倫的講解、列舉，都取代不了學生自己對所學內容的深切感悟. 這應該是學生激烈討論的時候，讓學生通過比較、討論，思維上經歷了“直覺—矛盾—思考—驗證”，真正地理解了圖形的變換歸根結底是點的變換，從點的坐標和函數的角度理解數學知識. 所以解疑的過程需適當“留白”，在分組合作探究中給學生留出“想的時間”、“說的機會”以及“展示思維過程”的舞臺，促進了學生學習方式的改變，提高了學生的數學學習信心. 這一“留白”充分發揮了學生的主體作用，讓學生體會到正是因為有了錯誤才會有經驗，因為有了經驗才會有成功. 讓學生在體驗成功的快樂氛圍中激發其探究熱情，升華學生的數學思維能力和探究能力.

探究3：

教師：我們已經由y=sinx的圖象，通過周期變換可以得到y=sin2x的圖象，又通過相位變換得到了函數y=sin2x-的圖象，同學們思考：由函數y=sinx的圖象，還可以通過哪些變換得到y=sin2x-？

學生：y=sinx y=sinx- y=sin2x-

學生：y=sinx y=sinx- y=sin2x-=sin2x-

（類似于前面一個問題的探究，自主回答（發現問題）——合作探究（辨析問題）——糾錯訂正（解決問題）.）

在自我小結中“留白”——完善思維

課堂實錄片段五

課堂小結：本節課學習了哪些知識？又體現了哪些思想方法和探究策略？

（留時間讓學生回味、反思，并引導學生從三個方面小結.）

1. 知識方面：作圖方法（圖象變換法）；

2. 思想方法：數形結合、局部到整體；

3. 探究策略：特殊到一般.

教師：你還有哪些收獲能和大家分享嗎？

（兩個學生將做題時的易錯點與注意點和大家分享，同學們紛紛鼓掌.）

【設計意圖】 俗話說“編筐編簍，重在收口”. 課堂小結是一節課的“終曲”，是對一節課反思的很好機會. 此時教師要舍得花一些時間在課尾設置留白，讓學生回顧與升華所學知識，分享一節課的心得體會，可以激發學生進一步探究的興趣，給課堂再次留下精彩的瞬間.

幾點思考

1. 留白前——做到“穿針引線”

現代教育理論和教學實踐都證明，老師如果在教學時把知識像剝橘子一樣，一塊一塊掰開，喂給學生，實際上就剝奪了學生思考的權力，所以在課堂上要給學生設計一些內容懸念和有思考價值的問題，或者有意地留下學生感興趣的空白，讓學生自主發揮，反而會激起學生強烈的認知沖突和參與課堂教學過程的熱情，“欲達彼岸”的心理需求與“樂此不疲”的求知欲望，才能推動學生主動參與問題的探究. 如果沒有教師的“穿針引線”，學生的探究之旅能走多遠？課堂留白又意義何在？

2. 留白中——做到“留而不流”

課堂留白不是教學過程的“斷流”，是筆斷意連式的意味深長. 如果一節課中無原則地到處留白，留白過多，留白時間過長，看似發揮了學生的主觀能動性，課堂上也熱鬧，但熱鬧的背后是學生不知所措的一片茫然，寶貴的課堂時間就在這無謂的空守中白白浪費掉了，會造成教學節奏松散，反而阻礙學生思維，會讓我們的教學效果因為“斷流”而大打折扣. 課堂上提出問題后，教師注意觀察學生的表情變化，當看到成功的喜悅洋溢在學生臉上時，意味著“留白”有了豐盛的收獲. 這其實不需要太久，只需那么一兩分鐘，學生就可以得到一些緩沖和放松，為更好地迎接下一輪的沖刺做好準備.

課堂留白不能“放任自流”，教學過程中往往為了追求探討的形式，探究的問題沒有價值，完全地放手讓學生去做，認為這樣才不會阻礙學生的思維，其實這恰是對留白的一種錯誤認識. 這樣的探究難免有活動無體驗，有經歷無感悟，看似熱熱鬧鬧，學生卻絲毫沒有得到思維挑戰和認知沖突的歷練. 教師進行教學設計時要了解學生，把握教材，一定要根據實際情況和學習目標對所要探討的問題做好足夠的預設，要有任務的留白，只有學生清楚自己該探究什么，才會使探究更有意義，才會使“留白”更有價值.

3. 留白后——收獲“未曾預約”的精彩

留白的意義就在于讓學生真正成為課堂的主人. 在交流展示中，不要變成“教師秀”，把黑板和講臺還給學生，讓學生想一想，悟一悟，讓學生講出來.由于每個學生在觀察思考時抓住問題的特點不同，運用知識不同，因而，同一個問題可能得到幾種不同的參與途徑，更易激發起學生不同的觀點和別具一格的想法，這正是教師所追求的理想課堂. 經常這樣做，可以逐步打造“善思、善練、善說、善寫”相互滲透的智慧課堂，學生身上就能噴發出探究的火花，思維才能得到真正的提升.

總之，留白也是一門課堂教學藝術，在課堂教學中學會“留白”，善于“留白”，必將收到意想不到的精彩.