零點(diǎn)問題
——函數(shù)、方程、圖像的交匯點(diǎn)

劉君蘭　隋雪芹

(1.山東省榮成市第四中學(xué)，榮成　264306;2. 山東省榮成市第三十五中學(xué)，榮成　264306)

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零點(diǎn)問題
——函數(shù)、方程、圖像的交匯點(diǎn)

劉君蘭1隋雪芹2

(1.山東省榮成市第四中學(xué)，榮成264306;2. 山東省榮成市第三十五中學(xué)，榮成264306)

新課程標(biāo)準(zhǔn)改革下的數(shù)學(xué)高考越來越重視對(duì)學(xué)生綜合素質(zhì)的考查．作為函數(shù)、方程、圖像的交匯點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的聯(lián)系，蘊(yùn)含了豐富的數(shù)形結(jié)合思想．所以，函數(shù)的零點(diǎn)問題能很好地考查學(xué)生的綜合素質(zhì)，其考查形式也逐漸多樣化發(fā)展，但都與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的知識(shí)密不可分．

在近幾年的高考中，經(jīng)常出現(xiàn)利用零點(diǎn)存在性定理或數(shù)形結(jié)合的方法確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及其存在范圍，以及應(yīng)用零點(diǎn)求參數(shù)的值這樣的題． 也經(jīng)常出現(xiàn)根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，綜合應(yīng)用函數(shù)與方程的思想確定方程解的個(gè)數(shù)這樣的題，題型有選擇題、填空題或解答題．此類問題一般有多種解法，如果給出的函數(shù)是簡(jiǎn)單的函數(shù)，那么直接求解對(duì)應(yīng)方程便可知零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．如果給出的函數(shù)是復(fù)雜的函數(shù)，那么應(yīng)先考慮把函數(shù)分成兩個(gè)簡(jiǎn)單且容易作圖的函數(shù)，觀察這兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再考慮用其他方法來解決函數(shù)圖像與x軸或平行于x軸的直線的關(guān)系．

高考試題對(duì)高中教學(xué)具有輻射、導(dǎo)向作用．以典型考題為載體研究如何解題，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可缺少的核心內(nèi)容．我們以下面這道高考題為例，解析函數(shù)零點(diǎn)在數(shù)學(xué)高考中的重要應(yīng)用．

【典型例題】(2013 湖北)已知函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為().

C. (0,1)D.(0,+∞)

【題意解析】涉及函數(shù)的極值問題必須利用導(dǎo)數(shù)解決，所以對(duì)f(x)=x(lnx-ax)進(jìn)行求導(dǎo)得f′(x)=lnx-2ax+1，而極值點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)產(chǎn)生的，所以令f′(x)=lnx-2ax+1=0得lnx=2ax-1．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x(lnx-ax)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以由分析知f′(x)=lnx-2ax+1必須有兩個(gè)零點(diǎn)，從而把其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)零點(diǎn)的問題．

解題時(shí)主要依據(jù)題目的特點(diǎn)：(1)數(shù)形結(jié)合，利用圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)對(duì)參數(shù)的取值來討論；(2)構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)來研究；(3)分離參數(shù)，將參數(shù)的取值范圍轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域．

【多種解法】

解法一：(可根據(jù)分類討論思想利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)圖像的特點(diǎn)確定函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)從而得出零點(diǎn)的個(gè)數(shù))

由題意知f′(x)=lnx-2ax+1=0在(0,+∞)有兩個(gè)零點(diǎn)從而轉(zhuǎn)化為y=f′(x)的圖像與x軸必須有兩個(gè)交點(diǎn)的問題．

則分a=0,a>0,a<0討論．

圖1

③當(dāng)a<0時(shí)，很顯然g′(x)>0，所以g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，不成立．

點(diǎn)撥：此種方法對(duì)學(xué)生的綜合分析能力要求較高，有的學(xué)生對(duì)于分類討論不知如何下手，尤其是遇到較為復(fù)雜的函數(shù)，更是手足無措．所以在解題時(shí)，遇到簡(jiǎn)單的函數(shù)采用此方法較好，但是當(dāng)函數(shù)比較復(fù)雜，對(duì)分類討論思想要求較高時(shí)，還需慎重．

解法二：(考慮到給定函數(shù)比較復(fù)雜，則可利用函數(shù)與方程的思想進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，把函數(shù)分成兩個(gè)簡(jiǎn)單且容易作圖的函數(shù)，觀察兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù))

f′(x)=lnx-2ax+1，令f′(x)=lnx-2ax+1=0，得lnx=2ax-1．

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x(lnx-ax)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以f′(x)=lnx-2ax+1有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)y=lnx與y=2ax-1的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖像．

圖2

解法三：(分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為結(jié)合某個(gè)已知函數(shù)圖像的特點(diǎn)找其與平行于y軸直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法)

圖3

令g′(x)=0,則x=1．

點(diǎn)撥：分離參數(shù)的方法在數(shù)學(xué)解題過程中應(yīng)用廣泛，它避免了必須進(jìn)行分類討論的麻煩．

【典例總結(jié)】利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法：(1)利用函數(shù)本身的性質(zhì)進(jìn)行求解；(2)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖像的關(guān)系，從而構(gòu)建不等式求解；(3)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖像的上下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解．

總之， 函數(shù)零點(diǎn)問題主要涉及基本初等函數(shù)的圖像，滲透著轉(zhuǎn)化、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，在培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用．

數(shù)學(xué)高考中的零點(diǎn)問題，以前都是小題，但近幾年卻變?yōu)榻獯痤}，甚至難題．例如，2015年的高考題全國(guó)卷1、江蘇卷、廣東卷，都把函數(shù)的零點(diǎn)作為大題、難題來出．掌握好以上三種方法，就能輕松解決零點(diǎn)問題尤其是與零點(diǎn)相關(guān)的解答題．近幾年數(shù)學(xué)高考更加重視對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)潛能的考查，筆者對(duì)各地高考題進(jìn)行分析研究，發(fā)現(xiàn)以零點(diǎn)為載體設(shè)計(jì)的試題立意新穎，構(gòu)思巧妙．預(yù)計(jì)函數(shù)的零點(diǎn)問題會(huì)成為未來幾年高考的熱點(diǎn)．

(責(zé)任編輯：李珺)