二次函數(shù)系數(shù)式符號(hào)的判定

□宋毓彬

二次函數(shù)系數(shù)式符號(hào)的判定

□宋毓彬

一、判別二次函數(shù)系數(shù)式的幾個(gè)關(guān)鍵要素

（1）確定a、b、c符號(hào)的方法

①a的符號(hào)由拋物線(xiàn)開(kāi)口方向確定：

開(kāi)口向上，a＞0；

開(kāi)口向下，a＜0.

②b的符號(hào)由拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸位置結(jié)合開(kāi)口方向確定：

③c的符號(hào)由函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)（0，c）的位置確定：

交點(diǎn)位于y軸正半軸，c＞0；交點(diǎn)位于y軸負(fù)半軸，c＜0；交點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，c=0.

（2）對(duì)稱(chēng)軸的作用

②拋物線(xiàn)具有對(duì)稱(chēng)性，拋物線(xiàn)上關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同（即函數(shù)值相等）.

（4）由拋物線(xiàn)上特殊點(diǎn)的位置判定特殊系數(shù)式的符號(hào)

如x=1時(shí)，y=a+b+c；x=-1時(shí)，y=a-b+c；x=2時(shí)，y=4a+ 2b+c；x=-2時(shí)，y=4a-2b+c等系數(shù)式，其符號(hào)可由圖象上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置來(lái)確定，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在x軸上方，y＞0；對(duì)應(yīng)點(diǎn)在x軸下方，y＜0.

（5）由拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)情況確定判別式的符號(hào)

拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，Δ= b2-4ac＞0；拋物線(xiàn)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，Δ=b2-4ac=0；拋物線(xiàn)與x軸無(wú)交點(diǎn)，Δ=b2-4ac＜0.

（6）由拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)確定函數(shù)值y的取值范圍及a、b、c符號(hào)

拋物線(xiàn)與x軸相交于（x1，0）、（x2，0）.

①a＞0時(shí)，x1＜x＜x2，y＜0（對(duì)應(yīng)的函數(shù)值在x軸下方，中間）；x＜x1或x＞x2，y＞0（對(duì)應(yīng)的函數(shù)值在x軸上方，兩邊）.

a＜0時(shí)，x1＜x＜x2，y＞0（對(duì)應(yīng)的函數(shù)值在x軸下方，中間）；x＜x1或x＞x2，y＜0；（對(duì)應(yīng)的函數(shù)值在x軸上方，兩邊）

②由根與系數(shù)關(guān)系判別a、b、c符號(hào)，如交點(diǎn)都在左半軸上，則有知 a、c異號(hào)且a、b同號(hào).

二、應(yīng)用舉例

例1二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）圖象如圖1所示，則下列關(guān)系式成立的是（）.

B.a+b+c＜0

C.a2＞ab-ac

D.4ac-b2＞0

圖1

解析：①由拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，故a＜0；對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，x=與a異號(hào)，故b＞0；拋物線(xiàn)與y軸相交于正半軸，故c＞0.

因此abc＜0，故A錯(cuò).

②當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b+c，而拋物線(xiàn)上x(chóng)=1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在x軸上方，即y＞0，因此a+b+c＞0，故B錯(cuò).

③當(dāng)x=-1時(shí)，y=a-b+c，由圖象可知，x=-1時(shí)，y＜0，即ab+c＜0，得a＜b-c，

驅(qū)動(dòng)模塊設(shè)計(jì)以直流電機(jī)和舵機(jī)為主，直流電機(jī)控制容易，舵機(jī)容易提供更大的扭力。相對(duì)于不同的障礙應(yīng)選不同的電機(jī)和裝配方式。通常情況下，六電機(jī)、[1]六輪式機(jī)器人具有越障能力高、承載能力強(qiáng)、結(jié)構(gòu)和控制簡(jiǎn)單、轉(zhuǎn)向靈活、工作效率高等優(yōu)勢(shì)。

又a＜0，所以a2＞ab-ac，

故C正確.

④由拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，b2-4ac＞0，

所以4ac-b2＜0，故D錯(cuò)，

故關(guān)系式成立的是C.

例2已知二次函數(shù)y=ax2+ bx+c（a≠0）圖象如圖2所示，則下列5個(gè)結(jié)論：

①abc＞0；②b＜a+c；③4a+ 2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1）.

其中正確的結(jié)論有（）.

A.2個(gè)B.3個(gè)

C.4個(gè)D.5個(gè)

圖2

解析：①同例1①，故①錯(cuò)；

②同例1③，b＞a+c，故②錯(cuò).

③當(dāng)x=2時(shí)，y=4a+2b+c，

由圖象可知，x=2時(shí)，y＞0，

∴4a+2b+c＞0，故③對(duì).

∴b=-2a.

由②知a+c＜b，

∴2a+2c＜2b，∴2c＜3b，

故④對(duì).

⑤由拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為x=1，y最大值為a+b+c；當(dāng)x=m（m≠1）時(shí)，y=am2+bm+c，

∴a+b+c＞am2+bm+c，

即a+b＞m（am+b）（m≠1），

故⑤對(duì).

綜上，正確的結(jié)論有③④⑤共3個(gè)，故選B.

例3圖3是二次函數(shù)y=ax2+ bx+c圖象的一部分，其對(duì)稱(chēng)軸為x=-1，且過(guò)點(diǎn)（-3，0）.

下列說(shuō)法：

①abc＜0；②2a-b=0；③4a+ 2b+c＜0；④若是拋物線(xiàn)上兩點(diǎn)，則y1＞y2.

其中說(shuō)法正確的是（）.

圖3

A.①②B.②③

C.①②④D.②③④

解析：①拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，故a＞0；對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)，a、b同號(hào)，故b＞0；圖象與y軸相交于負(fù)半軸，故c＜0.∴abc＜0，故①對(duì).

③當(dāng)x=2時(shí)，y=4a+2b+c，由圖象可知，x=2與x=-4所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，y＞0，

∴4a+2b+c＞0，故③錯(cuò)誤.

綜上，結(jié)論①②④正確，故選C.