分類討論莫入“陷阱”

□朱元生

分類討論莫入“陷阱”

□朱元生

老師：二次函數既是初中數學的重要知識點，也是中考的熱點.但若概念模糊，忽視隱含條件，考慮問題不周密，常會產生錯誤的判斷，導致錯誤的結論.現在和同學們一起探討幾個問題.

（別看問題較難，還真有不少同學舉起了手）

解得m＞-4.

又m+3≠0，即m≠-3，

故m的取值范圍為m＞-4且m≠-3.

老師：王慧同學的解答正確嗎？

葉巍：不全面，因為題設并沒有指明是二次函數還是一次函數，函數圖象與x軸有一個交點或有兩個交點都符合題意，因此必須分類討論.

①當函數為二次函數，且圖象與x軸有2個交點，這時就是王慧同學的解答；

②當函數為二次函數，且圖象與x軸只有1個交點，則△=0，解得m=-4；

③當函數為一次函數，這時二次項系數m+3=0，即m=-3，這時函數為，它與x軸有一個交點

綜上所述，m的取值范圍應為m≥-4.

老師：葉巍同學的解答很全面，就應這樣來分析.現在我們再一起思考下面這道題.

例2已知當-2≤x≤1時，二次函數y=-（x-k）2+k2+1有最大值4，試求實數k的值.

（又有很多同學舉起了手）

盧霞：由題設可知，拋物線的開口向下，對稱軸為x=k，頂點坐標為（k，k2+1）.

當-2≤k≤1時，最大值k2+1=4，解得

老師：盧霞同學的解答正確嗎？

朱丹：不正確.首先k2=不在-2≤k≤1范圍內，應舍去.同時k的取值也不一定局限于-2≤k≤1范圍內.

①當k＜-2時，可知當x=-2時有最大值，即-（-2-k）2+k2+1=4，解得（不合題意舍去）；

②當k＞1時，可知當x=1時有最大值，即-（1-k）2+k2+1=4，解得k=2.

（同學們熱烈鼓掌，一致認為朱丹同學的分析太好了）

老師：好，朱丹同學的解答確實很好！最后還有一道題，請同學們再考慮一下.

例3試求函數y=（k-1）x2-2kx+k的圖象與坐標軸的交點坐標.

（這次舉手的同學更多了）

祁婷婷：令（k-1）x2-2kx+k=0，解得令x=0，得到y=k.

老師：祁婷婷同學的解答對不對呢？

周燕：不夠完整.由于函數解析式中含有待定系數，由于系數的不同可能得到不同類型的函數，如果是二次函數，還要對二次函數的判別式加以討論.

（1）當k=1時，函數為y=-2x+1，這時直線與坐標軸的交點坐標為（0，1）和（

（2）當k≠1時，△=（-2k）2-4（k-1）·k=4k.

①若k＜0，則△＜0，此時拋物線與x軸無交點，但與y軸交點為（0，k）；

②若k=0，函數為y=-x2，此時拋物線與坐標軸的交點坐標為（0，0）；

③若k＞0，且k≠1時，則△＞0，此時就是祁婷婷同學的解法，得到拋物線與坐標軸的交點坐標為和（0，k）.

（又是一陣熱烈的掌聲）

老師：周燕同學的分析同樣很精辟，從以上幾例可以體會到解題時一定要全面思考，充分挖掘隱含條件，不重不漏地進行分類討論，切忌受思維定勢的影響，以偏概全，掛一漏萬，導致錯誤的結論.

下面還有兩道題，有興趣的同學可以繼續探討：

1.已知關于x的函數y=（m+1）x2-2mx+m-2的圖象與x軸總有交點，試求m的取值范圍.

參考答案：

1.m≥-2 2.a的取值為0、2或-2.