分類(lèi)討論莫入“陷阱”

□朱元生

分類(lèi)討論莫入“陷阱”

□朱元生

老師：二次函數(shù)既是初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，也是中考的熱點(diǎn).但若概念模糊，忽視隱含條件，考慮問(wèn)題不周密，常會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤的判斷，導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論.現(xiàn)在和同學(xué)們一起探討幾個(gè)問(wèn)題.

（別看問(wèn)題較難，還真有不少同學(xué)舉起了手）

解得m＞-4.

又m+3≠0，即m≠-3，

故m的取值范圍為m＞-4且m≠-3.

老師：王慧同學(xué)的解答正確嗎？

葉巍：不全面，因?yàn)轭}設(shè)并沒(méi)有指明是二次函數(shù)還是一次函數(shù)，函數(shù)圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)或有兩個(gè)交點(diǎn)都符合題意，因此必須分類(lèi)討論.

①當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)，且圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)就是王慧同學(xué)的解答；

②當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)，且圖象與x軸只有1個(gè)交點(diǎn)，則△=0，解得m=-4；

③當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)，這時(shí)二次項(xiàng)系數(shù)m+3=0，即m=-3，這時(shí)函數(shù)為，它與x軸有一個(gè)交點(diǎn)

綜上所述，m的取值范圍應(yīng)為m≥-4.

老師：葉巍同學(xué)的解答很全面，就應(yīng)這樣來(lái)分析.現(xiàn)在我們?cè)僖黄鹚伎枷旅孢@道題.

例2已知當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，二次函數(shù)y=-（x-k）2+k2+1有最大值4，試求實(shí)數(shù)k的值.

（又有很多同學(xué)舉起了手）

盧霞：由題設(shè)可知，拋物線的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x=k，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（k，k2+1）.

當(dāng)-2≤k≤1時(shí)，最大值k2+1=4，解得

老師：盧霞同學(xué)的解答正確嗎？

朱丹：不正確.首先k2=不在-2≤k≤1范圍內(nèi)，應(yīng)舍去.同時(shí)k的取值也不一定局限于-2≤k≤1范圍內(nèi).

①當(dāng)k＜-2時(shí)，可知當(dāng)x=-2時(shí)有最大值，即-（-2-k）2+k2+1=4，解得（不合題意舍去）；

②當(dāng)k＞1時(shí)，可知當(dāng)x=1時(shí)有最大值，即-（1-k）2+k2+1=4，解得k=2.

（同學(xué)們熱烈鼓掌，一致認(rèn)為朱丹同學(xué)的分析太好了）

老師：好，朱丹同學(xué)的解答確實(shí)很好！最后還有一道題，請(qǐng)同學(xué)們?cè)倏紤]一下.

例3試求函數(shù)y=（k-1）x2-2kx+k的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

（這次舉手的同學(xué)更多了）

祁婷婷：令（k-1）x2-2kx+k=0，解得令x=0，得到y(tǒng)=k.

老師：祁婷婷同學(xué)的解答對(duì)不對(duì)呢？

周燕：不夠完整.由于函數(shù)解析式中含有待定系數(shù)，由于系數(shù)的不同可能得到不同類(lèi)型的函數(shù)，如果是二次函數(shù)，還要對(duì)二次函數(shù)的判別式加以討論.

（1）當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)為y=-2x+1，這時(shí)直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）和（

（2）當(dāng)k≠1時(shí)，△=（-2k）2-4（k-1）·k=4k.

①若k＜0，則△＜0，此時(shí)拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn)，但與y軸交點(diǎn)為（0，k）；

②若k=0，函數(shù)為y=-x2，此時(shí)拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）；

③若k＞0，且k≠1時(shí)，則△＞0，此時(shí)就是祁婷婷同學(xué)的解法，得到拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和（0，k）.

（又是一陣熱烈的掌聲）

老師：周燕同學(xué)的分析同樣很精辟，從以上幾例可以體會(huì)到解題時(shí)一定要全面思考，充分挖掘隱含條件，不重不漏地進(jìn)行分類(lèi)討論，切忌受思維定勢(shì)的影響，以偏概全，掛一漏萬(wàn)，導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論.

下面還有兩道題，有興趣的同學(xué)可以繼續(xù)探討：

1.已知關(guān)于x的函數(shù)y=（m+1）x2-2mx+m-2的圖象與x軸總有交點(diǎn)，試求m的取值范圍.

參考答案：

1.m≥-2 2.a的取值為0、2或-2.