Non-Carathéodory域中重點為無窮缺項函數系{zτnlogsnz}的逼近

馬薛珂

(昆明理工大學 數學系　云南 昆明 650500)

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Non-Carathéodory域中重點為無窮缺項函數系{zτnlogsnz}的逼近

馬薛珂

(昆明理工大學 數學系云南 昆明 650500)

Non-Carathéodory域； 重點； Lp(B)空間； 逼近

0　引言

函數系在Banach空間中的完備性問題,是逼近論中的經典問題.文獻[1-3]介紹了函數系在復平面的無界曲線上、可測集上、具有非連通補集的有界區域上以及在無界區域上的逼近問題.近年來,關于函數系的逼近問題仍是許多學者研究的熱點.文獻[4-5]考慮了復指數系的不完備性、最小性以及加權指數多項式的逼近.文獻[6-7]推廣到研究函數系在C0(E)空間中的完備性問題,文獻[8]得出多元復指數系不完備的充要條件及其閉包的特征.

(1)

(2)

函數系{zτnlogsnz}的指數{τn}有重點,且重點個數趨于無窮的情況下,研究Non-Carathéodory域上函數系{zτnlogsnz}在Banach空間Lp(B)上的完備性問題,有以下定理1.

1　輔助引理

為證明定理,先論述并證明以下幾個輔助引理.本文中Ci表示常數,每次出現不必相同.

引理1[1]若h(r)滿足式(2)的條件,則可知函數系{zτnlogsnz}在Lp(B)空間中.

引理2多項式系{zn}在Lp(B)空間中是完備的.

引入典型乘積，

(3)

注解1典型乘積φ(z)是絕對一致收斂的,對于任意小的正數ε,可知F(w)在Ωε內是有界解析的.

C是一個與w和Rn都無關的常數,并且此時φ滿足

tanφ<ε/(Dsinα).

(4)

由Carleman定理可以得到以下引理.

若1≤p<,且,設q(z)∈Lq(B),定義G(w)=?B′q(eξ)F(w-ξ)dξ1dξ2.其中ξ=ξ1+iξ2,z=eξ,B′是閉集合B在ξ=logz下的像,則可知集合B′一定是位于帶狀的區域且α1是常數).集合B是有界的單連通區域,引入2個帶型區域：).

引理7若G(w)≡0,那么如果q(z)∈Lq(B),則有等式?Bq(z)zndxdy=0,z=x+iy.

證明類似文獻[7]中引理2.13的證明過程.

引理8如果函數系{zτnlogsnz}在解析函數空間Lp(B)中完備的充要條件是：已知Lq(B)是Lp(B)的共軛空間,對于任意的q(z)∈Lq(B),有等式?Bq(z)zτnlogsnzdxdy=0成立,則可推出q(z)≡0.

由Riesz-Fischer定理可推出引理8成立.

2　定理的證明

證明假設M(Λ1)在Lp(B)空間中是不完備的.由引理1可知,函數系{zτnlogsnz}在LP(B)空間中.又由引理8知,若證明函數系{zτnlogsnz}在解析函數空間Lp(B)中完備,只需證明對任意的q(z)∈Lq(B),對所有的zτnlogsnz,有等式?Bq(z)zτnlogsnzdxdy=0成立,則推出q(z)≡0即可.由引理2知,多項式系{zn}在Lp(B)空間中完備,故只需證明?Bq(z)zndxdy=0即可[11].

由上述引理及G(w)的定義可知

其中C是一個與Rn和w都無關的常數.由0<(1-η)nR≤Rn≤nR,可知

(5)

(6)

故∫，其中C5是一個正數,

且與y無關.故∫,即

∫.

(7)

(8)

由引理7可知,G(w)≡0可推出?Bq(z)zndxdy=0.故可知定理成立.

[1]沈燮昌.關于函數系{zτnlogjz}在復數平面上的無界曲線上的完備性問題[J].數學學報,1963,13(2):170-192.

[2]沈燮昌.關于函數系{zτnlogjz}在復數平面上的區域中的完備性問題[J].數學學報,1963,13(3):405-418.

[3]沈燮昌.用函數系{zτnlogjz}來逼近復平面上的函數[J].數學學報,1964,14(3):406-414.

[4]DENG G T. Weighted exponential polynomial approximation[J]. Sci China Ser A,2003,46(2):280-287.

[5]DENG G T. Incompleteness and minimality of complex exponential system[J]. Sci China：Ser A, 2007, 50(10),1467-1476.

[6]YANG X D, TU J. On the completeness of the system {tλn}inC0(E)[J]. J Math Anal Appl, 2010, 368(2): 429-437.

[7]YANG X D. On the completeness of the system {tλnlogmnt} inC0(E)[J].Czechoslovak mathematical journal,2012,62(137):361-379.

[8]王翠巧,鄧冠鐵.加權Hardy空間中解析函數的唯一性及多元指數多項式的加權逼近[J].北京師范大學學報(自然科學版),2015,51(4):334-339.

[9]ZIKKOS E.On a theorem of norman levinson and a variation of the fabry gap theorem[J].Complex variables,2005,50(4):229-255.

[10]沈燮昌.關于廣義狄里希萊多項式展開的余項估計[J].北京大學學報,1962,3:199-211.

[11]沈燮昌.復變函數逼近論[M].北京:科學出版社,1992:88-121.

(責任編輯：方惠敏)

On the Completeness of the Function System {zτnlogsnz} with Infinite Multiplicity in Non-Carathéodory Region

MA Xueke

(DepartmentofMathematics,KunmingUniversityofScienceandTechnology,Kunming650500,China)

Non-Carathéodory region; multiplicity;Lp(B) space; completeness

2016-03-30

馬薛珂(1990—),女,河南安陽人,碩士研究生,主要從事復分析研究,E-mail:1542032159@qq.com.

O174.5;O174.52

A

1671-6841(2016)03-0039-04

10.13705/j.issn.1671-6841.2016061

引用本文：馬薛珂.Non-Carathéodory域中重點為無窮缺項函數系{zτnlogsnz}的逼近[J]．鄭州大學學報(理學版)，2016，48(3)：39-42.