一種嚴謹的“割補法”
——談談不均勻容器類壓強題的解法

陳顯盈 尤愛惠

(溫州中學　浙江 溫州　325000) (溫州市南浦實驗中學　浙江 溫州　325000)

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一種嚴謹的“割補法”
——談談不均勻容器類壓強題的解法

陳顯盈 尤愛惠

(溫州中學浙江 溫州325000) (溫州市南浦實驗中學浙江 溫州325000)

對于不均勻容器類的壓強題，往往采用一種不嚴謹的“割補法”，本文分析了一種嚴謹的“割補法”，并介紹了“補充法”“割除法”“簡化法”“膨脹法”“綜合法”等一系列其他解題方法．

壓強題解法割補法補充法割除法

對于液體壓強競賽題，涉及的容器往往不是上下粗細均勻的柱體狀容器(如圓柱體、長方體等)，而是上細下粗或上粗下細的不均勻容器(如圓臺、棱臺等)，下面結合一道典型的壓強競賽題分析其解法．

1　例題再現

【題目】如圖1所示，甲、乙兩只完全相同的圓臺狀容器內，分別裝有質量相等的水和煤油，置于水平桌面時，設兩容器內液體對底部的壓強分別是p1和p2，關于兩壓強的大小，下列說法正確的是

A.p1>p2B.p1=p2

C.p1

圖1　例題平面示意圖

下面筆者結合教學經驗，再談一談該類壓強競賽題的各種解法．

圖2　割補法平面示意圖

2　解法分析——割補法

2.1錯誤解法

許多參考資料采用一種在平面示意圖上直接割補成圓柱體的“割補法”進行解題．如圖2所示，先將兩圓臺容器都割補成圓柱體容器，根據p=ρgh(ρ和h不變)可知p都各自不變．割補后，根據

因m相等甲的S大，可知甲中的壓強p較小(即

p1

2.2錯法解析

(1)能否割補出圓柱體．

文獻[1]指出：采用該方式不能將圓臺容器經過一次割補變成圓柱體容器．如圖3所示，圓臺是立體的，通過圖2的割補方法都無法變為圓柱體．如果容器不是圓臺而是棱臺，才可以用該割補方式直接變為長方體．

圖3　圓臺(或棱臺)切割立體示意圖

(2)割補出的圓柱體體積是否相等．

如圖4所示，假如通過多次割補將圓臺變成圓柱體，割補前后體積相等嗎？設圓臺上、下底面的半徑分別為R上和R下，根據圓臺體積公式可得

圖4　割補法示意圖(體積不相等)

2.3嚴謹解法

那么，該題能不能采用“割補法”解題呢？其實是可以的，只不過需根據體積相等原理進行割補．如圖5所示，在理論上是可以要將上、下底面積分別為S上和S下的圓臺容器通過多次精細化割補變成一個圓柱體的容器，其底面積為

圖5　割補法立體示意圖(體積相等)

圖6　割補法平面示意圖(體積相等)

3　其他解法

可見，對于圓臺等容器可以采用“割補法”，但其解法比較繁瑣，其實該題可以采用其他簡單的“補充法”“割除法”等解法．

3.1補充法

如圖7所示，將圓臺補充后得到圓柱體，此時壓強p各自不變(h和S不變)．可得，甲中補充的液體質量Δm較小(即Δm1<Δm2)，根據公式

可知，甲中液體壓強p較小(即p1

圖7　補充法

3.2割除法

如圖8所示，將圓臺割除后得到圓柱體，此時壓強p各自不變．可得，甲中割除的液體質量Δm較大(即Δm1>Δm2)，根據公式

可知，甲中液體壓強p較小(即p1

圖8　割除法

3.3簡化法(簡化容器形狀)

如圖9所示，為了解題方便可將兩圓臺容器簡化為由兩段柱體組成的容器，簡化后底部液體壓強p也各自不變．甲中的壓強

而乙比甲多了一部分容器對液體向下的壓力ΔF，所以乙中的壓強

可得

p1

圖9　簡化法

3.4膨脹法(轉移法)

如圖10所示，可以將乙液體看成由甲液體熱膨脹得到(密度不相等)．熱膨脹后液體體積增大，部分液體從兩側往中間位置轉移，導致中間位置的壓強增大，可見膨脹后液體壓強也增大(即p1

圖10　膨脹法

3.5綜合法

(1)簡化法+膨脹法

如圖11所示，先用簡化法將圓臺簡化為兩段柱體；再用膨脹法，同理熱膨脹后液體會從兩側往中間位置轉移，從而導致液體壓強增大(即p1

圖11　簡化法+膨脹法

(2)替代法+膨脹法[1]

圖12　替代法+膨脹法

總之，該類容器粗細不均勻的壓強競賽題可以采用“割補法”，對于棱臺等容器可以在平面圖上直接割補成柱體進行解題；對于圓臺等容器，需先結合體積相等原理割補成圓柱體再解題．除了“割補法”外，還可用“補充法”“割除法”“簡化法”等多種方法進行解題，其解題關鍵是如何將上下粗細不均勻的容器轉化為粗細均勻的容器．

1王偉民.不能將立體圖當作平面圖處理.中學物理教學參考,2015(8)：18～19

2016-01-07)