一種證明引力大小與質量乘積成正比的數學方法*

何春生

(北京市第八十中學　北京　100102)

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一種證明引力大小與質量乘積成正比的數學方法*

何春生

(北京市第八十中學北京100102)

若z=k1x，z=k2y，兩式相乘可得z2=k1k2xy．貌似可以得到z2與xy的乘積成正比．可在高中物理教材上，在行星與太陽間引力大小的推導中，由圓周運動知識、開普勒定律和牛頓第三定律得出：引力大小與行星質量成正比，與太陽的質量成正比，可結論卻是引力大小與它們質量的乘積成正比，這是為什么呢？

萬有引力大小成正比牛頓第三定律

1　問題的提出

關于萬有引力大小，現行人教版教材《物理·必修2》和教科版教材《物理·必修2》的處理方式幾乎相同．將行星的運動軌跡簡化為圓，將行星繞太陽的運動簡化為勻速圓周運動．認為太陽對行星的引力提供行星繞太陽做圓周運動的向心力．結合圓周運動和開普勒第三定律，推導出太陽對行星的引力與行星的質量成正比，與它們之間的距離的平方成反比．即

(1)

然后指出：從相互作用的角度來看，行星與太陽的地位相同，所以太陽所受的引力也應與太陽的質量成正比，與它們距離的平方成反比．即

(2)

根據牛頓第三定律有

F=F′

(3)

所以

(4)

由式(1)、式(2)和式(3)真的能導出式(4)嗎？引力大小與太陽的質量成正比，與行星的質量也成正比，就一定能證明引力大小與二者質量的乘積成正比嗎？

關于引力和兩天體的質量關系，有學生做過這樣的推導．設在r不變的情況下，若將式(1)和式(2)變為等式，分別表述為

F=k1m

(5)

F′=k2M

(6)

將(5)、(6)兩式相乘可得

F2=k1k2Mm

(7)

從式(7)中不難看出F不是與M，m的乘積成正比，而是F與M，m的乘積的平方根成正比．問題出在哪兒？是萬有引力定律出問題了嗎？

2　錯因分析

該同學的推導過程貌似合理．但實際上只有當k1，k2與M，m無關，相對M，m獨立時，他的推導過程才能成立．而k1，k2真的與M，m無關嗎？

我們回顧一下式(1)推導過程：

若認為行星繞太陽做勻速圓周運動，根據向心力公式有

(8)

由根據開普勒第三定律有

(9)

聯立(8)、(9)兩式可得

(10)

所以

因為式(9)中k與太陽的質量有關，可見在r不變的情況下，式(5)中k1與M有關，是M的函數．同樣的道理，可見在r不變的情況式(6)中k2也與m有關，是一個關于m的函數．所以上述學生的推導是有問題的．

3　一種解決問題的辦法

在r不變時，可將中心天體對行星的引力大小表述為

F=f1(M)m

(11)

同理也可將行星對中心天體的引力表述為

F′=f2(m)M

(12)

因為F與F′為相互作用力，所以

F=F′

(13)

聯立式(11)、(12)和(13)可得

又因為當m為某一定值時，f2(m)也為定值，所以

f1(M)∝M

代入式(11)，可得F∝Mm

所以在兩物體間距離不變時，萬有引力的大小與兩物體的質量乘積成正比，而不是與兩物體質量乘積的平方根成正比．

同樣可以看出在兩天體間距離不變時，萬有引力大小與兩天體的質量乘積成正比．

2016-02-29)

*北京市中小學名師發展工程首都師范大學基地成果.