繩-船模型的拓展研究

何述平

(西北師范大學教育學院物理教育研究所　甘肅 蘭州　730070)

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繩-船模型的拓展研究

何述平

(西北師范大學教育學院物理教育研究所甘肅 蘭州730070)

基于繩-船模型拓展性地探究了斜繩上點的速度、加速度，結果表明：斜繩上各點的速度、加速度的大小、方向均不同；深化了繩-船模型的運動學認識．

繩-船模型斜繩上點速度加速度拓展

1　引言

繩-船模型是典型的運動學問題：如圖1，岸上一人用繞過定滑輪的不可伸長的輕繩以勻速率v0拉湖面上與繩相連的船靠岸，當繩與水平面成θ角時，求船的速度、加速度．從普通物理用直角坐標分量法可簡便解決[1]．因繩、船連動，則連接船的斜繩端點的速度、加速度與船的相同；那么，斜繩上點的速度、加速度如何？有怎樣的特點？就此進行相應的探究，以期拓展、深化繩-船模型的運動學認識，并為教學奠定基礎．

圖1　繩-船模型

2　探究

基于繩-船模型，依次探究斜繩端點、斜繩上點的速度、加速度．

2.1斜繩端點的速度加速度

湖岸為參考系，斜繩與滑輪相切處為原點，建立平面直角坐標系O-xy，如圖2；連接船的斜繩端點A為研究對象(視作質點)，位置坐標為(xA,yA)；取rA，θ為參量，則有

xA=rAcosθ

(1)

yA=rAsinθ

(2)

圖2　點A的直角坐標

式中xA，rA，θ均是時間t的變量，而由題設知yA=c為恒量(因繩端A隨船沿湖面水平向左運動)；對t求導得

(3)

(4)

依題意：繩縮短，則有

(5)

由式(3)、(4)、(5)得

(6)

(7)

由式(6)、(7)得端點A的加速度[1]

(8)

式(6)、(8)中的負號表明：斜繩端點A的速度、加速度的方向均沿x軸反向．

2.2斜繩上點的速度加速度

有定性說明斜繩上各點的速度的大小、方向都不相同，但斜繩上各點的速度在繩上的投影都相同，等于拉繩的速度[1]；而未能依據位移、速度概念細致推證，難免令人費解.鑒于此，先定性推證，再定量探究．

2.2.1斜繩上點的速度特點

斜繩與滑輪相切處O為參考點(慣性系)，經時間Δt，船沿湖面由A點運動到B點，斜繩上一點P相應由P點運動到M點，位移矢量為Δr，取ON=OM，則點P的位移矢量三角形為ΔPNM，如圖3(a)；Δt足夠短或趨于零時，分位移Δr2垂直于分位移Δr1(Δr可等效為相對于參考點O的位置矢量r[圖3(a)中未畫出]的大小變化即分位移Δr1和方向變化即分位移Δr2)．因此，點P的運動自然是沿繩的分運動、垂直繩的分運動的合運動；即點P的速度vP是沿繩的分速度v1，垂直繩的分速度v2的合速度，如圖3(b)；但點P的速度方向不再沿水平向左．從而定性推知：斜繩上各點的速度的大小、方向都不相同，但斜繩上各點的速度在繩上的投影都相同，等于拉繩的速度．

(a)點P的位移矢量　　　　　(b)點P的速度矢量

2.2.2直角坐標系下斜繩上點的速度、加速度

(1)直角坐標系下斜繩上點的速度

參考系、直角坐標系見圖2，斜繩上一點P為研究對象(視作質點)，位置坐標為(xP,yP)，點P與斜繩端點A共線，則有約束方程

xP=rPcosθ

(9)

yP=rPsinθ

(10)

式中xP，yP，rP，θ均是時間t的變量，求導得

(11)

(12)

式中P是斜繩上的點，且繩縮短，則有

(13)

由式(11)～(13)和式(7)得

(14)

(15)

即P點的速度為

(16)

于是有

(17)

(18)

式(18)的結果同端點A的式(6)．由式(16)得vP的大小、與水平面夾角

(19)

(20)

式(19)、(20)表明：vP，α均是rP的函數，即斜繩上各點的速度的大小、方向均不同；進而得(由題設知：

(21)

(22)

(2)直角坐標系下斜繩上點的加速度

由式(16)及式(5)、(7)、(13)得P點的加速度

(23)

于是有

(24)

(25)

式(25)的結果同端點A的式(8)．由式(23)得aP的大小、與水平面夾角正切

(26)

(27)

式(26)、(27)表明：aP，tanβ均是rP的函數，即斜繩上各點的加速度的大小、方向均不同；進而得

(28)

(29)

令式(28)等于零，得

(30)

(31)

2.2.3極坐標系下斜繩上點的速度、加速度

(1)極坐標系下斜繩上點的速度

(32)

圖4　點P的極坐標

則P點的速度為

(33)

由旋轉矢量導數[2]、式(7)得

(34)

(35)

由式(33)、(13)、(34)得

(36)

式(36)表明：P點的速度vP是沿繩收縮的分速度

(2)極坐標系下斜繩上點的加速度

由式(36)、(34)、(35)、(5)、(7)、(13)得P點的加速度

(37)

于是有

(38)

(39)

由式(37)得aP的大小同式(26)，與斜繩夾角正切

(40)

式(26)、(40)表明：aP，tanφ均是rP的函數，即斜繩上各點的加速度的大小、方向均不同；由式(37)、(30)得極小值時加速度

(41)

3　討論

就物理學方法而言，直角坐標參量法涉及導數、矢量表示等方法；極坐標法涉及導數、矢量表示、單位矢量導數、矢量叉乘等方法．

4　結語

基于繩-船模型拓展性地探究了斜繩上點的速度、加速度，給出了定量表達式，并界定了取值；討論了直角坐標參量法、極坐標法的特點；深化了繩-船模型的運動學認識，為教學奠定了基礎．呈現了拓展普通物理運動學基本問題的一個實例．從基本問題到拓展問題，反映了提出問題能力；而提出問題能力的培養是教學目標之一；因此，依據教學實際適度讓學生拓展適宜的基本問題，應是培養其提出問題能力的有效教學策略．

1胡盤新，孫迺疆．普通物理學(第5版)習題分析與解答．北京：高等教育出版社，2003．9～10

2Kleppner D，Kolenkow R J．力學引論．寧遠源，等譯．北京：人民教育出版社，1980．33～35，43

Extending Research on Rope-boat Model

He Shuping

(Research Institute of Physics Education，College of Education，Northwest Normal University，Lanzhou,Gansu730070)

Based on the model of rope-boat，the velocity and acceleration of a point of slanting rope are extensively explored，the results show that the size and direction of velocity and acceleration of each point of slanting rope are different；recognizing of kinematics of the model of rope-boat is deepened．

rope-boat model；point of slanting rope；velocity；acceleration；extending

2016-03-17)