巧用數(shù)形結(jié)合，突破教學(xué)難點(diǎn)

周樂(lè)根

摘 要：教師應(yīng)在日常教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生在解題過(guò)程中“以形助數(shù)、以數(shù)解形、數(shù)形結(jié)合”的運(yùn)用能力，根據(jù)問(wèn)題的具體條件，將數(shù)與形巧妙地結(jié)合起來(lái)，有效地相互轉(zhuǎn)化，提高解題水平。

關(guān)鍵詞：以形助數(shù)；以數(shù)解形；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化；運(yùn)用

一、挖掘教材，從生活入手，將數(shù)形結(jié)合思想滲透到概念課教學(xué)中

“冰凍三尺，非一日之寒”，意識(shí)和思維的形成也是一樣的，是一個(gè)長(zhǎng)期的、潛移默化的過(guò)程。作為教師，我們應(yīng)該在日常教學(xué)中，適時(shí)地向?qū)W生滲透這種思想。

例如，日常生活中的繩子和繩子上的結(jié)、刻度尺與它上面的刻度，我們走過(guò)的路線(xiàn)可以看作是一條線(xiàn)，教室里每個(gè)學(xué)生的座位等，我們利用學(xué)生的這一認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，把生活中的形與數(shù)相結(jié)合遷移到數(shù)學(xué)中來(lái)，挖掘教材，在教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的滲透。例如，數(shù)與數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值的幾何意義、一對(duì)有序?qū)崝?shù)與平面直角坐標(biāo)系、一元一次不等式的解集與一次函數(shù)的圖象、二元一次方程組的解與一次函數(shù)圖象之間的關(guān)系等，都是滲透數(shù)形結(jié)合思想的很好機(jī)會(huì)。

二、以形助數(shù)，數(shù)中思形，正確構(gòu)造圖形，通過(guò)幾何模型反映相應(yīng)代數(shù)信息

由于數(shù)和形是一種對(duì)應(yīng)，有些數(shù)量比較抽象，我們難以把握，而圖形具有形象、直觀的優(yōu)點(diǎn)，能表達(dá)較多的思維，起著解決問(wèn)題的定性作用，因此，我們可以把數(shù)對(duì)應(yīng)的形找出來(lái)，利用圖形來(lái)解決問(wèn)題。

例1.a2-b2與（a-b）2相等嗎？

這是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的問(wèn)題，但現(xiàn)實(shí)中是我們的一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)。由我們熟悉的平方差公式和完全平方差公式可知，它們是不相等的。但很多的學(xué)生初中學(xué)了三年都分不清這兩個(gè)公式，這是為什么呢？原因就是學(xué)生沒(méi)有真正地理解，有些學(xué)生雖說(shuō)理解，但也是從乘方公式（a+b）（a-b）=a2-b2與（a-b）（a-b）=（a-b）2的逆用來(lái)理解的，如果我們把這個(gè)公式換個(gè)形式呈現(xiàn)給學(xué)生，從幾何圖形出發(fā)來(lái)理解，就更直觀、更易理解了。

解析：如圖，（1）（2）（3）（4）各塊的面積可計(jì)算，

從面積值的角度來(lái)說(shuō)：

a2-b2=S3+S1+S4

（a-b）2=S3

顯然a2-b2≠（a-b）2

在教材中關(guān)于完全平方公式、平方差公式、勾股定理等的推證中都有類(lèi)似的運(yùn)用。

三、以數(shù)解形，形中覓數(shù)，善于觀察圖形，找出圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系

雖然圖形有直觀、形象的優(yōu)點(diǎn)，但在定量方面還必須借助數(shù)的計(jì)算，特別是對(duì)于較復(fù)雜的“形”，不但要正確地把圖象數(shù)字化，而且還要注意觀察圖形的特點(diǎn)，發(fā)掘題中的隱含條件，充分利用圖形的性質(zhì)，進(jìn)行分析計(jì)算。

例2.將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放，請(qǐng)仔細(xì)觀察，第100個(gè)圖形有______個(gè)小圓。

分析：這是一道典型的規(guī)律探究題，學(xué)生在解答時(shí)如果僅關(guān)注中間的小圓的變化，解答是比較困難的，但如果將圖形的規(guī)律問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)的規(guī)律問(wèn)題，本題就不難了。

根據(jù)第1個(gè)圖形有6個(gè)小圓，第2個(gè)圖形有10個(gè)小圓，第3個(gè)圖形有16個(gè)小圓，第4個(gè)圖形有24個(gè)小圓，

∴第n個(gè)圖形有：4+n（n+1）個(gè)小圓，第100個(gè)圖有10104個(gè)小圓。

例3.以數(shù)表形在教材中的展現(xiàn)，例如表示直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系：

如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線(xiàn)l的距離為d，那么：

（1）直線(xiàn)l和⊙O相交？圳d

（2）直線(xiàn)l和⊙O相切？圳d=r（如圖（2）所示）；

（3）直線(xiàn)l和⊙O相離？圳d>r（如圖（3）所示）。

教材上像類(lèi)以的問(wèn)題也很多，比如利用數(shù)軸、直角坐標(biāo)系通過(guò)數(shù)字和數(shù)對(duì)來(lái)表示點(diǎn)的位置，利用面積、距離、角度等來(lái)解決幾何問(wèn)題，例如，利用勾股定理證明直角、利用三角函數(shù)研究角的大小、利用線(xiàn)段比例證明相似等，幾何問(wèn)題中列函數(shù)關(guān)系式求最值問(wèn)題等。把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系使抽象的問(wèn)題具體化，教師若注重?cái)?shù)形結(jié)合思想方法的滲透，利于學(xué)生領(lǐng)悟幾何圖形（或圖案）的規(guī)律，從而找出其中的數(shù)量關(guān)系。

四、數(shù)形結(jié)合，相互轉(zhuǎn)化，利用數(shù)形結(jié)合思想提升學(xué)生解題能力

在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，應(yīng)讓學(xué)生了解所謂數(shù)形結(jié)合就是找準(zhǔn)數(shù)與形的契合點(diǎn)，根據(jù)問(wèn)題的具體條件，將數(shù)與形巧妙地結(jié)合起來(lái)，有效地相互轉(zhuǎn)化，就成為解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在。

例4.如圖所示，拋物線(xiàn)分別與x、y軸交于A、B、C三點(diǎn)，頂點(diǎn)為M，你能求出△MBC的面積嗎？能尋找?guī)追N方法？

解析：這是一道典型的數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)的綜合問(wèn)題，結(jié)合圖1中信息，可知A、B、C的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法易求得拋物線(xiàn)的解析式為：

通過(guò)添加適當(dāng)輔助線(xiàn)，可以多種解法，這種問(wèn)如果不借助圖形，不知數(shù)與形靈活轉(zhuǎn)化，學(xué)生解答也是相當(dāng)困難的。但如果我們掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法，能將點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離進(jìn)行轉(zhuǎn)換，構(gòu)造出一些四邊形或三角形，再利用圖形間的面積關(guān)系求解△MBC的面積，稍作點(diǎn)撥，相當(dāng)部分學(xué)生并可解答。

解答方法如下：

法一：如圖1，S△MBC=S梯形CODM+S△MDB-S△BOC（直接利用原圖中關(guān)系求解）

法二：如圖2，S△MBC=S梯形EMBO-S△EMC-S△COB

法三：如圖3，S△MBC=S△MCO+S△BOM-S△BOC

法四：如圖4，S△MBC==S△CMF+S△MBF（其中MF=MD-FD，可利用三角形相似求FD，△CMF、△BMF有公共邊MF，高之和為5）

法五：如圖5，S△MBC=S△GCB-S△GCM（其中CG=OG-OC，用M、B兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線(xiàn)MB解析式，可求OG，CG.）

法六：如圖6，S△MBC=S△HMB-S△HCB（求法與法五類(lèi)似）

究其解答過(guò)程，思路也是非常清晰的。數(shù)形結(jié)合是直觀化教學(xué)的一種重要手段，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，使較為抽象的數(shù)量關(guān)系通過(guò)幾何圖形形象地反映出來(lái)，使抽象的概念、關(guān)系得以直觀化、形象化。

最后要說(shuō)的是學(xué)生要真正掌握數(shù)形結(jié)合思想的精髓，還必須有深厚的基礎(chǔ)知識(shí)和熟練的基本技巧，它不像一般數(shù)學(xué)知識(shí)那樣，通過(guò)幾節(jié)課的教學(xué)就可掌握，它需根據(jù)學(xué)生的年齡特征，學(xué)生在學(xué)習(xí)的各階段的認(rèn)識(shí)水平和知識(shí)特點(diǎn)，逐步滲透。在實(shí)際教學(xué)中，我們不能僅把數(shù)形結(jié)合看成是解題的一種手段，更要看成是一種思維品質(zhì)。為了讓學(xué)生具有這種品質(zhì)、掌握這種方法需要我們把它落實(shí)到教學(xué)過(guò)程的各個(gè)環(huán)節(jié)中，使數(shù)形結(jié)合思想方法的教學(xué)成為一種有意識(shí)的教學(xué)活動(dòng)，發(fā)揮它更多的作用。

？誗編輯 謝尾合