在數學解題教學中培養學生自主學習的能力

李桂玲

【摘 要】新課改的核心環節是引導學生自主學習。“解題教學”恰恰契合這一教育理論的最佳實踐。“解題教學”并非就是單純的解題過程，它是教師引導學生通過閱讀題目，經過認真、仔細、嚴謹的審題后，在充分獨立思考的基礎上，讓學生作為課堂教學的主體，走上講臺，分析題目條件，講述解題思路，完成解題過程，也是促進學生知識水平和思維能力的全過程。教師則適當進行引導、點撥、變式與拓展，引導學生反思、總結與歸納的全過程。這樣的教學方式，通過師生之間、生生之間的探究、合作、交流，通過師生之間角色的轉變，充分為學生創設一個自主、平等、合作、探究、論證以及交流的探究性平臺。在交流中思維的火花產生激烈的碰撞，大大調動學生探究的積極性，從而教會學生學會思考、學會探究、學會解題的思想方法、真正成為數學學習的主人。

【關鍵詞】數學解題教學；審題和“三思”；自主學習；策略和方法

本文結合教學實踐，談幾點數學解題中如何培養學生自主學習能力的思考方法，以供參考。

一、培養學生認真審題的習慣

審題是發現問題、解決問題，得到解法的前提，認真審題可以為探索解法指明方向。審題需要弄清題意，題目是由條件和結論構成的，教師就要教會學生審清題目的已知事項，解題的目標，審清題目的結構特征和判明題型。例如，審清題目條件的具體要求是：羅列出已知條件中的明顯條件，同時挖掘出相關的隱含條件，把條件圖表化，弄清已知條件的等價說法，把條件進行解題需要的轉換。又例如，審清題目結論的具體要求是：羅列解題目標，分析多目標之間的層次關系，弄清解題目的等價說法，把解題目標圖表化。

為了使學生養成認真審題的習慣，教師首先應強調審題的重要性，其次要作出審題的示范，還要在學生的作業中捕捉因不認真審題而導致解題錯誤的典型事例，進行講解，吸取教訓。

二、教會學生探索解題方法

審題以后，引導學生探索解題方法的過程，可以概括為“解題三想”。

（1）回想。根據題目中涉及的主要概念，回想它的定義是怎樣的？根據題目的條件、結論及其結構，回想與它們有關的公式、定理、法則是什么？回想一下在你的知識倉庫里，有否儲存過這些定義、公式、定理、法則？能否直接利用這些知識來解題？

（2）聯想。如果直接套用現成知識解決不了問題，就必須進行恰當的聯想。解題時的聯想，就是要求在你的知識倉庫里，找出與題目很接近的或很相似的原理、方法、結論或命題，然后變通使用這些知識，看能否解決問題。聯想是發現解題途徑的一種基本思維方法，它有助于培養學生的發散思維。而聯想的思維基礎往往是類比推理，即由特殊到特殊的推理，把解決某種特殊情況的原則和方法遷移過來，應用在接近的或相似的情況上，聯想就是要靈活運用現成的數學知識。

（3）猜想。如果經過聯想仍解決不了問題，不妨進行大膽猜想。如果對解決問題的途徑、原則和方法不能馬上找到，可以去選擇一些接近于解決問題的途徑、原則和方法，這就是提出猜想。然后設法論證這個猜想是否真實。這里的猜想不是胡思亂想和任意拼湊，它也是一種科學思維活動。它是以已有的表象（如數量關系的描述、圖象的示意等等）為引發物，按邏輯推理的規律而進行的思維活動。猜想的思維基礎往往是歸納推理，即由特殊到一般的推理。也就是對特殊情況的結論進行一番分析去偽存真，由表及里，找出共性由此猜想一般性的結論該是什么？

例如有這樣一道幾何證明題，題目為：在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，E，F分別為AB，AC上的點，且∠EDF+∠EAF=180，求證：DE=DF。這道題是學生在學習了角平分線定理及全等三角形之后呈現的一道幾何證明題，最基本的內容就是：利用三角形全等證明兩條線段相等。而解決該問題的關鍵就是利用恰當的輔助線構造全等圖形，其核心就是角平分線定理和三角形全等的判定方法的綜合運用，其實質就是利用幾何圖形中圖形變換，即平移、旋轉等方式，將非全等圖形轉化為全等圖形，從而達到證明線段相等的目的，整個這個過程為化難為易、化無為有的過程，重在體現了數學中轉化的思想方法。因此，為教會學生思考，我以問題串的形式創設這樣問題的情境：

問題一：在你已有的知識、解題經驗的基礎上，如何證明兩條線段相等呢？（學生可以回答將兩條線段轉化到同一個三角形中利用等角對等邊；或尋找兩條線段所在的三角形全等；或垂直平分線上的點到線段兩個短點的距離相等；或角平分線上的點到角兩邊的距離相等，或特殊圖形中直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等方式解決）結合這道題的已知條件所提供的信息，并借助你已有的經驗，你想從哪個方面去解決這個問題呢？（學生會想到利用全等來解決）

問題二：結合這道題呈現的條件，DE，DN所在的兩個三角形有可能全等嗎？（不能，因為有銳角三角形，有鈍角三角形）那么如何構造這兩條邊所在的三角形全等：引導學生自己探索——小組展開討論——交流匯報。部分學生在交流中會想到解決問題的方式，在學生沒有思路的情況下，教師可以引導學生思考構建輔助線的方式，設計。

問題三：結合圖形中的條件，看到角平線的條件聯想到什么？看到互補的角，結合圖形，想到什么？引導學生通過已知條件和基本圖形聯想相關的結論，很自然的作垂直得到全等的兩個條件，再通過互補的角得到另一個全等的條件，從而利用角角邊定理證明全等，最終得到DE=DF。

同時，在此基礎上，繼續引導學生思考，聯想以往學過的幾何圖形，進行變式：

變式一：結論互換，已知DE=DF，其余條件不變，求證AD是∠BAC的平分線。

變式二：改變圖形進行變式。如圖，已知四邊形ABCD中，AD是∠DAB的平分線，∠DAB=60，∠B與∠D互補，求證：AB+AD=AC。

在這道證明題中，我充分引導學生根據已知條件和問題進行合理的回想、猜想與聯想。這三者之間是密切相聯的，回想越充分，聯想就越豐富，猜想也就越合理，解題的思路、方法也就越明確。

總之，在數學解題教學中，引導學生認真審題和開拓思維參與解題的全過程，學會解題，是提高課堂教學效益，提高學生自主學習能力的一種有效途徑。