矩陣的秩與向量組線性相關性的判定

單彩虹 李慧珍 夏靜

【摘 要】向量組的線性相關性是線性代數中的最重要也是最基本的內容，本文通過兩個例子來看一下矩陣的秩在向量組線性相關性判定中的應用。

【關鍵詞】向量；矩陣；線性代數

矩陣、向量組的線性相關性是線性代數中的最重要也是最基本的內容，它們關系密切，無法割裂開來。矩陣是研究線性代數各類問題的載體，矩陣的秩也是判定向量組線性相關性常用的方法。下面我們就通過兩個例子來看一下矩陣的秩在判定向量組線性相關性時的應用。

向量組線性相關性判定定理 向量組a1，a2，…am線性相關的充分必要條件是它所構成的矩陣A=（a1，a2，…am）的秩小于向量個數m；向量組線性無關的充分必要條件是R（A）=m。

例1設b1=a1，b2=a1+a2，…，br=a1+a2+…+ar且向量組a1，a2，…，ar線性無關，證明向量組b1，b2，…，br線性無關。

證 先把向量組b1，b2，…，br由向量組a1，a2，…，ar線性表示的關系式寫成矩陣形式：

記為B=AK，因為detK=1，所以K是可逆矩陣，由矩陣秩的性質可知

R（b1，b2，…，br）=（a1，a2，…，ar）

又因為a1，a2，…，ar線性無關，由向量組線性相關性判定定理可知R（a1，a2，…，ar）=r，從而有R（b1，b2，…，br）=r，再次運用定理知向量組b1，b2，…，br線性無關。

例2 設b1=a1+a2，b2=a2+a3，b3=a3+a4，b4=a4+a1，證明向量組b1，b2，…，br線性相關。

證一 根據題設可得

b1-b2+b3-b4

=（a1+a2）-（a2+a3）+（a3+a4）-（a4+a1）=0

由定義，知向量組b1，b2，…，br線性相關。

證二 兩向量組表示的矩陣形式為：

因為detK=0，所以R（K）<4。

由矩陣秩的性質知

R（b1，b2，b3，b4）≤R（K）<4

由判定定理，向量組b1，b2，…，br線性相關。

上述兩題在證明過程中都用到了矩陣的秩的性質，例1中用到的性質是：若P，Q，可逆，則R（PAQ）=R（A），用通俗的語言敘述就是乘以可逆矩陣不改變矩陣的秩。B=AK，因為K可逆，所以得到R（B）=R（A），但是在例2中矩陣K的行列式等于零，K不是可逆矩陣，就不能用這條性質了，例2中用到的矩陣秩的性質是：R（AB）≤min{R（A），R（B）}，乘積矩陣的秩不超過這兩個矩陣秩的最小者。并且例2中向量組b1，b2，…，br的線性相關性與向量組a1，a2，…，ar的線性相關性沒有關系。

很多學生都能順利做出例1這種類型的題，但遇到例2時犯了難，想不出例2中用到的矩陣秩的性質，當然也有一些學生能夠根據定義想到證一的方法，究其原因還是學生沒有深刻理解定義、定理以及秩的性質的具體內涵，不能靈活運用。所以教師可以通過典型的例題來解釋這些難懂的知識點，加深學生對定理、性質的理解和把握，提高學生分析問題、解決問題的能力。

【參考文獻】

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