故事與數學思維方法

生活中有許多思維方面的故事，引用這些故事可以激發學生學習數學的興趣，啟迪學生的數學思維，提高學生分析問題和解決問題的能力。請看以下幾例：

一、巧擺“田”字——借助思維

有一年，日本首相田中訪華。在一次宴會上田中問周恩來總理：“總理先生，久仰您的大名。今天，您能否用你們貴國的四根竹筷，擺出我田中的‘田’字來?”周總理略加思索，笑著對田中說：“首相閣下，這很簡單，你看——”周總理說著把四根竹筷握在手心，然后輕輕往桌上一敲說：“這不是您田中的‘田’字么?”在場的官員對周總理的才智贊嘆不已。

在這個故事中，周總理借用方桌的四邊，巧妙地擺出了“田”字，運用的是借助思維。運用借助思維，可以幫助學生解決比較復雜的數學問題。

例：一卷帶子，第一次用去它的2/3，第二次用去了余下的2/5，第三次正好用完。已知第三次比第二次多用了6米，這卷帶子長多少米?

這道題，用分數方法解比較繁瑣，如果我們借助圖形，那么解起來就顯得方便快捷多了。根據題意，我們可以畫出如下圖形：

觀察上面的圖形，我們可以看出，把一卷帶子平均分成15份，1份正好是6米，所以這卷帶子長6×15=90(米)。

二、截斷筆桿——逆向思維

日本有一家企業，生產圓珠筆。然而投放市場后，圓珠筆芯中的油墨沒使用完，筆芯上的圓珠就壞了。為此，廠家不惜重金請來許多專家對筆芯上的圓珠質量進行攻關。但是做了很多努力，效果都不理想。后來，這家企業的一名普通操作工竟然用一個極為簡單的方法，輕而易舉地解決了這個難題，他只是將筆桿截去一段。這樣，筆芯上的圓珠報廢時，油墨也正好使用完了。

這位普通工人截斷筆桿的做法，運用的是逆向思維。運用逆向思維，可以巧妙地解決正常情況下無法解決的問題。

例：下圖長方形兩條邊上的A、B兩點分別是長和寬的中點，求陰影部分面積是長方形面積的幾分之幾?

上圖中陰影部分面積是一個三角形面積，這個三角形的底和高都不知道，難以直接求出它的面積。我們由順向思維改為逆向思維，即暫不直接去求陰影部分的面積，而去試求空白部分的面積。假設長方形面積為單位“1”，已知A、B兩點分別是長方形長和寬的中點，所以左上、左下與右上的空白部分面積分別為1/8、1/4和1/4。因此，陰影部分面積為1-(1/8+1/4+1/4)=3/8，即陰影部分面積是長方形面積的3/8。

三、乾隆數塔——對應思維

清朝乾隆皇帝有一次游覽河南少林寺墓塔。大大小小造型精美、形狀各異的墓塔，使乾隆皇帝產生濃厚的興趣，便問隨行的方丈：“塔林里有多少墓塔?”方丈回答不出。乾隆笑了，想了想說：“我來替你數。”說完，便命令御林軍的士兵每人抱住一個塔，等所有的墓塔都有人抱住時，命令抱塔的士兵集體報數。乾隆對方丈說：“墓塔的數不就是這些嘛!”

乾隆解決問題時運用了對應思維，對應思維在數學學習中經常用到。

例：一捆繩子，第一次剪去2/5，第二次剪去余下的1/3，剩下12米，這捆繩子一共有多少米?

解這道題，關鍵是要找出已知數量“12米”的對應分率。第一次剪去的分率已知，第二次剪去的分率不是1/3，而是余下的1/3，我們應把它轉化為(1-2/5)×1/3，即1/5。這樣，可求出“12米”的對應分率為“1-2/5-1/5”，于是問題可解：12÷(1-2/5-1/5)=30(米)。列綜合算式為：12÷［1-2/5-(1-2/5)×1/3］=30(米)。

四、比劃駱駝——省略思維

從前，有個畫師給他的三個徒弟每人一張同樣大小的紙，讓他們畫駱駝，看誰畫的駱駝最多。大徒弟用細筆密密麻麻地在紙上畫滿了很小的駱駝，他非常得意，以為自己畫得最多。二徒弟畫了許許多多的駱駝頭，他畫的果然比大徒弟多。小徒弟只畫了幾條彎彎曲曲的線，表示連綿不斷的山峰，一只駱駝從山中走出來，另一只駱駝只露出半截脖子。畫師拿起小徒弟的畫時，禁不住點頭稱贊，大徒弟和二徒弟感到很奇怪。畫師說：“你們看這幅畫，畫上雖然只有兩只駱駝，但它在連綿起伏的群山里走著，時隱時現，誰也說不清會從山谷里走出多少只駱駝，這不恰好表明有數不盡的駱駝嗎?”

小徒弟之所以畫駱駝最多，是因為他巧妙地運用了省略思維。省略思維在數學學習中也有用武之地。

例：運輸隊運一批貨物，第一天運走的噸數比總噸數的25%少80噸，第二天運走的噸數比總噸數的1/5多80噸，還剩下660噸沒有運走，這批貨物有多少噸?

這道題中，第一天運走的噸數比總噸數的25%少的“80噸”，與第二天運走的噸數比總噸數的1/5多的“80噸”相等，采用移多補少后正好互相抵消。于是，“660噸”所對應的分率就是1-25%-1/5=55%。因此，我們同時排除兩個“80噸”，列出最簡便的算式為：660÷(1-25%-1/5)=1200(噸)。

五、不設城墻——擴展思維

走進云南大理古城，你會發現一種奇怪的現象——古城四周不設城墻。詢問當地人，他們說，這是古代人為了便于城市以后向四周發展而這樣做的。

不難看出，大理城的古代人很早就有了擴展思維。擴展思維在數學學習中具有獨特作用。

例：下圖ABCD是四邊形，這個四邊形的面積是多少平方厘米?(單位：厘米)

這道題，根據已知條件直接求出這個四邊形的面積很困難。如果把這個四邊形分解成兩個圖形，也無法解出，因為分解后的圖形也缺少已知條件。那么，最好的辦法是運用擴展思維，到圖形的外面去思考。可把BA、CD分別延長到E，這樣就有了下圖：

在三角形EBC中，∠BEC=180°-90°-45°=45°，所以三角形EBC是等腰直角三角形，它的面積是70×70÷2=2450(平方厘米)。在三角形EDA中，∠DAE=180°-90°-45°=45°，所以三角形EDA是等腰直角三角形，它的面積是30×30÷2=450(平方厘米)。因此，四邊形ABCD的面積就是2450-450=2000(平方厘米)。

六、竹禪畫觀音——創新思維

清朝晚年有一位和尚畫家，法名叫竹禪。他云游到北京，被叫到宮里作畫。一天，一位宮內畫家宣布：“這里有一張五尺宣紙，太后老佛爺讓畫一幅九尺高的觀世音菩薩站像，誰來接旨?”按常規思維，在五尺宣紙上畫九尺高的觀音菩薩是根本不可能的，因此無人敢接旨。竹禪想了一下，說：“我來接!”他磨墨展紙，一揮而就。大家一看，無不驚嘆，原來竹禪采用了創新思維。他畫的觀音和大家常畫的并無差異，只是把觀音畫成了正彎著腰在拾凈水瓶中的柳枝的樣子。

在數學學習中運用創新思維，可以找到獨特的解法。

例：一段公路長1800米，實際前3天修了全長的2/5，照這樣計算，修完這段公路需要多少天?

這道題，從一般思路出發，可以先求出前3天每天修的路長：1800×2/5÷3=240(米)，再求出修完這段公路需要的天數：1800÷240=71/2(天)，列綜合算式為：1800÷(1800×2/5÷3)=71/2(天)。如果從創新思維出發，緊緊抓住前“3天”與“2/5”的對應關系，即可直接求出修完這段公路的天數為：3÷2/5=71/2(天)。

七、發明雞尾酒——組合思維

雞尾酒是酒的混合液。它的發明相傳于美國南北戰爭時期的一位酒店女招待，她喜歡將多種酒組合在一起用雞尾羽毛攪拌，后流行開來。雞尾酒由基本酒(50%以上烈性酒)、調和料(香料、奶油、果汁等)、附加料(冰塊、石榴汁等)組合而成，可見，在雞尾酒的發明創造中運用了組合思維。

組合思維雖簡單，卻很有效。在數學學習中，我們運用組合思維可以解決某些問題。

例：計算下圖中陰影部分的面積。(單位：厘米)

上圖中陰影部分面積難以直接計算，這時可以運用組合思維，將左下小半圓面積旋轉移動到右邊的空白半圓中去，正好重合。這樣就組成了一個較大的半圓面積(如下圖)，即陰影部分的面積是：3.14×3²÷2=14.13(平方厘米)。