尊重·引導·拓展

“數學是思維的體操”，引導學生學會“數學地思維”是數學教學的核心目標。根據有關專家研究，數學思維具有以下特征：數字化、最優化、符號化、抽象化、邏輯化。其中“最優化”是指：在現實問題數學化的基礎上，考察所有的可能性，力求最優解，即思維本身的最優化。

《數學課程標準》指出：“由于學生所處的文化環境、家庭背景和自身思維方式的不同，學生的數學學習活動應當是一個生動活潑的、主動的與富有個性的過程。”數學教學中，引導學生從不同角度觀察、思考問題，積極鼓勵解決問題策略的多樣化，敢于并善于巧思妙解，是提高學生發現問題、分析問題和解決問題能力的重要途徑，也是新課程改革所倡導的重要理念之一。課程標準鼓勵“算法多樣化”和“解決問題策略的多樣化”，筆者認為應本著“多中選優、擇優而用”的原則，注重引導學生巧思妙解，注意數學思維方法的滲透，使學生經歷下列過程：面對問題從無辦法到有辦法，從有辦法到辦法多，從辦法多到能迅速捕捉到機智巧妙的辦法。本文結合實例，就如何注重引導學生巧思妙解與加強思維訓練，談談自己的認識和做法。

一、充分尊重學生的巧思妙解——正確對待

課堂上、作業中或考試時學生出現的一些特殊算法，教師不能隨意否定。雖然有時一下子難以作出正確的評價或進行算理的推導，但應該讓學生充分闡述自己的思維過程，并和學生一起研究這個新問題，然后給予正確的評價與指導。

如在應用題教學中，我遇到以下一題：

李師傅原來加工5300只零件，不合格的有186只，技術改革后，不合格率是2％。問加工同樣的這批零件，合格的零件增加多少只?

大多數學生從“合格零件的增加個數=現在合格數-原來合格數”，列式為：5300×(1-2％)-(5300-186)=80(只)。然而卻有學生這樣列式：186-5300×2％=80(只)，因為他們認為“合格零件增加的只數=不合格零件減少的只數”。所以從這個隱蔽條件入手分析，獲取了題目的巧解，值得肯定和表揚。

再比如，在圓面積綜合練習課上，教師安排了以下一題：

如下圖，有一個正方形的面積是20平方厘米，在它里面畫一個最大的圓，問圓的面積是多少？

教師設計此題的意圖是：打破學生求圓面積的解題思維定勢，啟發學生先求出r2，然后再求出圓的面積。

學生又是怎樣思考的呢?他們在討論中發現，已知正方形面積是20平方厘米，卻無法知道它的邊長是多少，也無法求出是多少，因此常規思路以失敗告終。在教師的引導之下，學生通過畫一畫發現，利用正方形面積是20平方厘米，可以求出圓的r2=20÷4=5(平方厘米)(如下圖)，所以S圓=πr²=3.14×5=15.7(平方厘米)。

正當教師想表揚和小結之時，有一位學生急忙發言：“老師，我覺得應該對圓面積公式作一點補充。”聽了這句話，大家都很驚奇，教師用鼓勵的目光讓他說出自己的想法。他說：“我發現了一個計算圓面積的新公式。由于r=d/2，所以S圓=πr²=π×(d/2)²=1/4πd²。有了這個新公式，因為已知正方形的面積是20平方厘米，即d²=20平方厘米，所以圓面積S=1/4πd²=1/4×3.14×20=15.7(平方厘米)。”“是啊，這是一個多么有創造性的發現啊！”學生們都向他投去贊許的目光。

從上例可見，在課堂教學中，教師要留給學生求異、創新的余地，多給學生思考、想像和創造的空間，盡量引導學生運用多種不同的表達方式，尊重與激勵學生的獨立思維方式，讓學生的智慧得以“閃光”。這樣，即使課本上沒有的公式，學生也可能發現并創造出來。

二、合理引導學生的巧思妙解——敢于求異

課堂教學中，在教給學生基本的解題思路和方法之后，不能讓學生被這些基本解法所束縛，而是要鼓勵學生深入思考，敢于從多角度、多方面、多層次地探索與發現，使學生敢于求異。由于多角度地思考問題，靈活轉換思考角度，解法就顯得別開生面，且深刻而富有創造性。

例如：某筑路隊計劃6天鋪900米水泥路，結果提前一天完成了任務。工作效率提高了百分之幾?

分析與解：按常規思路，不難得出：[900÷(6-1)-900÷6]÷(900÷6)=0.2=20％。而換個角度思考，把原計劃6天鋪好改為提高工效后5天鋪好，也就是說，現在鋪一天相當于原計劃鋪6÷5=1.2(天)。因此，現在的工效是原來的120％，所以工效提高了20％，列綜合算式為：6÷(6-1)-1=20％。

又如：一列火車從甲站開往乙站，61/4小時行駛500千米，行了全程的5/8。照這樣的速度，再行多少小時到達乙站?

分析與解：有些學生一看到“500千米”和“全程的5/8”馬上想到：可以求出全程，再用剩下的路程除以速度，即(500÷5/8-500)÷(500÷61/4)=33/4(小時)。如果我們換個角度思考，拋開“500千米”這個條件，本題中只剩下“61/4小時行了全程的5/8”這個條件，這樣本題就會有更多的解題思路。

解法1：先求出火車行完全程的時間是61/4÷5/8=10(小時)，所以火車再行10-61/4=33/4(小時)可到達乙站，列綜合算式為：61/4÷5/8-61/4=33/4(小時)。

解法2：先求出火車行完全程的時間，剩下所求的時間應是全程的1-5/8=3/8，列式為：61/4÷5/8×(1-5/8)=33/4(小時)。

解法3：由“已行了全程的5/8”可知已行路程與未行路程的比為5∶3，因為前后速度一定，行這兩段路所用的時間比也是5∶3，所以要再行61/4×3/5=33/4(小時)。

從上例可見，去掉“500千米”這個條件，反而使解題思路更靈活、更巧妙。所以，在分析問題時，我們要突破思維定勢，合理轉換思考角度，創造性地解決問題。

三、努力拓展學生的巧思妙解——善于創新

教學中，教師要鼓勵學生結合具體問題，進行大膽的嘗試、猜想、聯想，引導學生能從多角度思考問題，做到“多思”出“多解”，“多解”出“巧解”，使學生的智慧在豐富多彩的數學活動中得以“閃光”，從而培養學生思維的靈活性和創造性。

如在數學興趣活動課中，教師出示以下一題：

有一塊長方形鐵皮(如圖1)，長40厘米，寬20厘米。怎樣將它做成一個高5厘米的無蓋長方體盒子，并使它的容積變得最大呢?

在小組討論的基礎上，教師組織學生交流。

一般的學生這樣思考：在鐵皮的四個角上剪去4個邊長是5厘米的小正方形(如圖2)，然后做成長方體。這樣的體積是：(40-5×2)×(20-5×2)×5=1500(立方厘米)。

思維靈活的學生這樣思考：剪去4個小正方形，這樣做太浪費了。如果像圖3那樣，將左邊的兩個小正方形鐵皮割下來，然后補在右邊，再做成一個長方體，則它的體積是：(40-5)×(20-5×2)×5=1750(立方厘米)。

在此基礎上，教師進一步啟發學生：怎樣設計可以使體積更大呢?事實上，如果換個角度思考，如圖4，將長方體的底面做成一個正方形，不僅材料無浪費，而且體積可以變得最大，列式為：20×(40-5×4)×5=2000(立方厘米)。

可見，在解決問題時，教師要注意開放學生的思維方式與思考角度，合理拓展學生的思路，發展學生的創新思維，從而有效地培養學生的數學思維能力。