巧證橢圓的光學性質

閆銀翠 王麗敏

人教A版選修2-1閱讀材料中“圓錐曲線的光學性質”引起了同學們的極大興趣，如何從數學的角度來研究呢. 下面以橢圓為例來研究它的光學性質.

橢圓的光學性質：當一束光線從橢圓的一個焦點發射，經過橢圓的內壁反射，它的反射光線必經過橢圓的另外一個焦點.

分析 由于光線的反射是鏡面反射，實際上該問題轉化為，光線實際上是被橢圓上過反射點的切線反射.

數學證明

設橢圓方程為 + = 1（a > b > 0），

（1）求橢圓上一點P（x0，y0）處的切線方程.

（2）求證：∠MPF1 = ∠NPF2.

（1）解 橢圓的切線可以看成是與橢圓相交的直線中交點與弦的中點重合.

設直線l與橢圓交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，線段AB的中點為C（x′，y′），則 + = 1， + = 1，兩式相減得 = -，即 = - × = - × ，所以直線的斜率k = - × ，當所以直線l的方程為y - y′ = - × （x - x′），當A，B兩點無限靠近時，直線l的極限狀態為切線，此時中點C變成切點，所以點P處的切線方程為：y - y0 = - × （x - x0）①，又 + = 1，所以①式可變形為 × = 1.

（3）證明 用向量法證明兩個角的余弦值相等.

取直線l的方向向量為n = x0，y0 - ， = （x0 + c，y0）， = （x0 - c，y0）.

則cos〈n，〉= = =

= = .

同理可證cos〈n，〉 = .

因為∠MPF1和∠NPF2都在0，內，所以∠MPF1 = ∠NPF2.

【參考文獻】

[1]李超英.一個探究型教學案例—圓錐曲線的光學性質及其應用[J].中學教研（數學），2006（4）.

[2]李紅春.橢圓切線方程的兩種巧妙求法[J].中學生數學（高中），2014（10）.