管用才是硬道理

張盈　張治中

圓錐曲線的第二定義與第一定義是等價(jià)關(guān)系. 可以做數(shù)學(xué)推理的起點(diǎn). 但是，在以第二定義為題材高考題的標(biāo)準(zhǔn)答案中，總是避簡(jiǎn)就難，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)造成了一定的困難. 運(yùn)用它解題簡(jiǎn)單，用幾例解題示范，希望能對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有所裨益.

一、第二定義中的焦半徑公式，具有很強(qiáng)的穿透力

例1 （2014全國(guó)卷新課標(biāo)Ⅱ理科20題）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C： + = 1（a > b > 0）的左右焦點(diǎn)，M是x上一點(diǎn)且 MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.

（1）若直線MN的斜率為，求C的離心率；

（2）若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN| = 5|NF1|，求a，b.

解 （1）略. （2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），A（0，2），B（x1，0），MF2∥AO∥NB，且|F1O| = |OF2|，∴ = 2·2？圯b2 = 4a……①

又∵ = ？圯 x2 = -；|NF1| = a + ex2 = a -

|AF1| = 4|NF1|，即a + = 4a + ？圯 3a2 = 7c2 ？圯 e2 = .

= 1 - e2 = .

由①，得a = 7，b2 = 28，b = 2.

分析 對(duì)于|MF2|、|MF1|、|NF1|，焦半徑，是圓錐曲線的最基本要素之一. 用焦半徑公式直接表達(dá)兩個(gè)線段比，直指解題目標(biāo)，宜于把技能轉(zhuǎn)化成能力，解題簡(jiǎn)單，是因?yàn)楹侠?

二、以第二定義為推理起點(diǎn)，管用、簡(jiǎn)捷

例2 2013全國(guó)高考（大綱·理科 ）數(shù)學(xué)卷21題. 原題. 已知雙曲線C： - = 1（a > 0，b > 0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率為3，直線y = 2與C的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為.

（1）求a，b；

（2）設(shè)過F2的直線l與C的左、右兩支分別交于A、B兩點(diǎn)，且|AF1| = |BF1|，證明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比數(shù)列.

運(yùn)用第二定義的簡(jiǎn)單解法如下：

解 （2）e = 3，c = 3.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）. 如圖1.

|AF2| = -a - ex1 = -1 - 3x1.

|BF2| = ex2 + a = 3x2 + 1. |AF2| =

|BF2| ？圯 x1 + x2 = -.

y = k（x - c）b2x2 - a2y2 = a2b2x1 + x2 = = = - ？圯 k2 = .

x1·x2 = = - = - .

如圖1.

∵ |AF1| = a - ex1 = 1 - 3x1，|BF1| = -a + ex2 = 3x2 - 1.

∴ （|AB|）2 = （|AF2| - |BF|2）2 = （2 - 3（x1 + x2））2 = 16.

|AF2|·|BF2| = 3（x1 + x2） - 9x1·x2 = 16. 命題成立.

在高考標(biāo)準(zhǔn)答案中，|AF1| = = = -（3x2 + 1），以兩點(diǎn)間的距離為起點(diǎn)，對(duì)第二定義，是欲用還休，欲用還休. 這個(gè)題材，也給了暗示和引領(lǐng)，得到了表現(xiàn)個(gè)性機(jī)會(huì). 為高考解題演義著精彩.

三、第二定義實(shí)用，應(yīng)該讓大眾坦然享有

例3 2010遼寧高考理科20題. 設(shè)橢圓C： + = 1（a > b > 0）的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為， = 2.

（Ⅰ）求橢圓C離心率；

（Ⅱ）如果|AB| = ，求橢圓C的方程.

解 （Ⅰ）過A（x1，y1），B（x2，y2）作準(zhǔn)線垂線AM，BN，直線AB準(zhǔn)線交于P，如圖2.

設(shè)|BF| = t，|AF| = 2t. = e，

|BN| = ； = e，

|AM| = .

∵ BN是△PAM的中位線，|PB| = 3t，∠PBN = ，

∴ = = = ？圯 e = .

（Ⅱ）∵ = 1 - e2 ？圯 b2 = a2；

y = k（x - c）b2x2 + a2y2 = a2b2 ？圯 x1 + x2 = ，

|AB| = 2a - （x1 + x2） = ？圯 a = 3，b2 = 5，

∴ C： + = 1.

分析 對(duì)于（Ⅰ），如果經(jīng)歷了橢圓第二定義的探討，以P為頂點(diǎn)的兩個(gè)相似三角形相繼而生，相應(yīng)邊的數(shù)量得到直接的表達(dá). 再由直角三角形邊長(zhǎng)比的數(shù)量關(guān)系，t消而e出.

對(duì)于（Ⅱ），兩個(gè)焦半徑恰好是一類弦長(zhǎng). 通過k，a，b，c，|AB|五個(gè)要素的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系.數(shù)學(xué)解壓軸題也可以善作善成.

簡(jiǎn)單的解法，是因?yàn)楦玫伢w現(xiàn)了數(shù)學(xué)邏輯的內(nèi)在要求. 因?yàn)榭忌嚲砻鎸?duì)的是資深的閱卷的學(xué)者，考場(chǎng)做答應(yīng)直指目標(biāo)，在“蘭舟催發(fā)”之際，不需外在的 “聯(lián)立、化簡(jiǎn)、于是、得”等過程連接詞. 只需表現(xiàn)自己的個(gè)性和理性功力，管用才是硬道理.