試論導數在解決實際問題中的應用

張秀蘭

【摘要】 導數對于我們而言并不陌生，因為它時時刻刻出現在我們的身邊，它對于我們的實際生活有著無與倫比的作用，它產生于生活，實踐于生活.

【關鍵詞】 導數；實際問題；利潤最大化

一、導數應用于優化解決社會生活實際問題時應注意

第一，看清題意，找出正確的變量，當變量數量多時，應注意理清，寫出正確的關系式；

第二，看清題意，確定正確的自變量的取值范圍；

第三，一定要根據問題的實際情況得到相應的結果，不要答非所問；

第四，要做到具體問題具體分析.

二、導數實例分析

（一）怎樣實現利益最有化

案例1 制作襯衫的公司，其產品的級別是不一樣的，依據品質可以分為12個等級，最次的產品每一件可以獲利12元錢，之后產品的檔次提升一級，獲利就多出7元錢，但是會在同樣的時間里少制作3件，如果時間是同樣的，最次的產品能夠制成100件. 那么在同樣的時間里，制作哪個等級的產品獲利最大？有多少？

思維指引 大家平日里常常會遇到類似于“最大面積”“費料最少”“獲利最優”“速度最大”“強度最高”等歸類于求算一個函數的最值得情況，這時，通過求導的方式算出函數的最大或最小值就行，不過計算時函數一定要符合規定的范圍.

解 設相同的時間內，生產第 x（x∈N*，1 ≤ x ≤ 12）標準的襯衫利潤y最大.根據題意，得

y = [12 + 7（x - 1）][100 - 3（x - 1）] = 25（x + 1）（21 - x）對其上式求導數，可解得y′ = 30 × （x - 12），令y′ = 30 × （x - 12） = 0，解得x = 12. 因x = 12∈[1，12]，y 只有一個極值點，且比較閉區間上端點兩端的函數值可知，x = 12是最值點，也就是說，在相同的時間內，生產第12標準的襯衫利潤最大，最大利潤為3788元.

（二）怎樣使費料與用錢最少

案例2 一個制造易拉罐的工廠，在其產品的容量特定時，需要如何設定產品的高、底、半徑，以達到費料最少的目的？

解 我們現在設該圓柱的高為h，底半徑為R，則易拉罐表面積S = 2πRh + 2πR2.

根據，V=πR2h，可以得到h = v/πR2，可得S（R） = 2πR/πR2 + 2πR2 = 2RV + 2πR2，對上式求導可得，S′（R）=4πR - 2πR2 = 0.

解得：h=2R.

由于S（R）的極值是唯一的，因此最小的值是它.

答：要想使用最少的材料，必須讓罐的高和罐底的直徑數值一樣.

總結 如果易拉罐的表面面積一定，為S時，需要如何設置罐子的高和罐子的底面半徑長，才可以達到費料最少的目的.

案例3 在邊長為60 cm的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱子的容積最大？最大容積是多少？

思路一：設箱底邊長為x cm，則箱高h = cm，得箱子容積V是箱底邊長x的函數：r（x） = x2h= （0 < x < 60），從求得的結果發現，箱子的高恰好是原正方形邊長的，這個結論是否具有一般性？

變式：從一塊邊長為a的正方形鐵皮的各角截去相等的方塊，把各邊折起來，做成一個無蓋的箱子，箱子的高是這個正方形邊長的幾分之幾時，箱子容積最大？

提示：V（x） = x（a - 2x）20 < x < .

答案：x = .

評注 這是一道實際生活中的優化問題，建立的目標函數是三次函數，用過去的知識求其最值往往沒有一般方法，即使能求出，也要涉及較高的技能技巧. 而運用導數知識，求三次目標函數的最值就變得非常簡單，對于實際生活中的優化問題，如果其目標函數為高次多項式函數，簡單的分式函數，簡單的無理函數，簡單的指數，對數函數，或它們的復合函數，均可用導數法求其最值. 可見，導數的引入，大大拓寬了中學數學知識在實際優化問題中的應用空間.

（三）怎樣用最短的時間追擊

案例4 小陳在下公交后，發現有物品丟在車上，這個時候車子已經在十字路口停下，他追車子的速度是6 m/s，當綠燈亮時，他距車子20 m，車子的速度在增加，為a = 2m/s2，小陳可以趕上車子嗎？如果沒有趕上，那么他距車子最少多少米.

分析 需要利用物理上有關的位移表達式創建模型，通過導數計算出最值.

設小陳在t秒后能夠趕上汽車，那么小陳走過的位移為S = at2 = ，結合題目的內容可得，-t2 + 6t = 20，對其化簡可得，t2 - 10 t + 40 = 0.

由于判別式△ < 0，該方程無解，因此小陳不能趕上汽車. 小陳未能成功趕上汽車，在t秒后，汽車與小陳的相距為：f（t） = s2 + 20 - S1 = at2 t2 - 10t + 40 = 0，對其進行求導可得，t = 8，所以，小陳在t = 8的時候與車的距離最短，為12米.

總結，此道題是求追趕時的最小值，換個角度，其實是求算二次函數的最值. 在運算時，不僅可以運用導數而且通過配方、圖像、頂點坐標等知識點也可以算出.

結 論

此文通過列舉人們較為陌生的案例，希望人們重新學習與了解使用導數工具性的范圍.