數形結合 巧解數學難題

劉桂杰

“學習之道在于悟”，高三二輪數學復習，無論從知識難度還是思維方式來講，都進入了一個復雜繁瑣的新高度. 這就要求我們不僅要習得萬題之法，練就解題真功夫，而且在海量的解題過程中還要學會自我領悟、思考和總結，領悟數學問題解決中的數學思想、方法、策略，并加以巧妙運用.

“數形結合”是我們在數學解題中常用的經典數學思想方法之一. 通過以形助數，以數輔形，能使抽象問題形象化，復雜問題簡單化，能有效破解數學難題，開辟出簡便有效的解題方式. 下面我就把自己運用數形結合解題時的一些思考和總結的幾點方法作以簡單介紹.

一、以形助數，讓數直觀

高中函數問題是數學難題的“聚集區”， 也一直是高考數學考察的熱點，一些條件繁多、關系復雜的數學問題經常出現在函數領域. 如通過分析已知函數的圖像或者運用函數的性質化簡已知函數，從而得出問題中函數的有關性質、表達式及有關圖像的變化的試題. 我們在解決這類問題時，如果借力數形結合，“以形助數，讓數直觀”，這樣的難題往往會迎刃而解.

題目 如果實數x，y滿足等式（x - 2）2 + y2 = 3，求的最大值.

解析 等式（x - 2）2 + y2 = 3有明顯的幾何意義，它表示以（2，0）為圓心，r = 為半徑的圓（如圖）.

而 = 則表示圓上的點（x，y）與坐標原點（0，0）的連線的斜率.

這樣就可以把問題轉化為幾何問題：

動點A在以（2，0）為圓心，以3為半徑的圓上移動，求直線OA的斜率的最大值.由圖可知，當點A在第一象限，且與圓相切時，OA的斜率最大，經簡單計算，得最大值為tan 60° = .

所以最大值是.

二、以數解形，讓形入微

所謂以數解形，就是用代數或者數量關系的形式來解決圖形中的問題，如可將幾何條件代數化，借助數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，然后通過數理論證，從而將幾何圖形化難為易，表示為簡單的數量關系（如算式等）.

題目 已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F（0，c）（c > 0）到直線l ： x - y - 2 = 0的距離為，設P為直線l上的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點.

（1）求拋物線C的方程；

（2）當點P（x0，y0）為直線l上的定點時，求直線AB的方程；

（3）當點P在直線l上移動時，求|AF|·|BF|的最小值.

解析 如果只是用“形”去求解“當點P在直線l上移動時，求|AF|·|BF|的最小值”，根本得不到任何精確的結論. 于是我把它與“數”結合，由拋物線定義可知|AF| = y1 + 1，|BF| = y2 + 1，所以|AF|·|BF| = （y1 + 1）（y2 + 1） = y1y2 + （y1 + y2） + 1；再根據直線AB與拋物線C相交，聯立方程，消去x整理得y2 + （2y0 - x02）y + y02 = 0，再由一元二次方程根與系數的關系可得y1 + y2 = x02 - 2y0，y1y2 = y02

所以|AF|·|BF| = y1y2 + （y1 + y2） + 1 = y02 + x02 - 2y0 + 1，

又點P（y0，y0）在直線l上，所以x0 = y0 + 2，

|AF|·|BF| = y1y2 + （y1 + y2） + 1 = y02 + x02 - 2y0 + 1 = 2y02 + 2y0 + 5 = 2y0 + 2 + .

這樣就將幾何圖形的性質用“數”的形式表示出來，將求得的最小值轉化為求二次函數的最小值.

三、數形相融，化難為易

在運用數形結合思想分析和解決問題時，我們既要善于將“數”與“形”進行等價轉化，注意待解決問題“數”與“形”所蘊含的數量關系的一致性，同時我們還要把代數式的精確計算與幾何圖形的直觀描述結合起來，利用 “數”的精確性和“形”的全面性，從而使得看似無法解決的問題清晰化、明朗化，達到簡化問題，解決問題的目的.

題目 已知橢圓C = + = 1（a > b > 0）的一個焦點為（，0），離心率為，

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若動點P（x0，y0）為橢圓外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程.

解析 由數“焦點為（，0），離心率為”思形可求橢圓的標準方程. 由形“點P到橢圓C的兩條切線相互垂直”想數：切線與橢圓C的聯立方程只有一個解，Δ = 0，可得到方程（x02 - 9）k2 - 2x0y0k + y02 - 4 = 0及k1k2 = -1，根據一元二次方程根與系數的關系可得k1k2 = = -1就可求出點P的軌跡方程，再由數思形可知為一個圓.

我的一點總結：“數與形，本相依，焉能分作兩邊飛. 數無形時，少直覺；形少數時，難入微. ”在應用數形結合思想解題時，我們一定要抓住數形結合思想的本質，將數與形巧妙聯想，數與形等價轉換，只有這樣才能使問題中的數量關系自然凸顯，順利解決數學難題，從而不斷提高我們自身的思維品質和靈活解題能力.

（指導老師：王偉軍）