初中數學圖形變換方法的類型及應用探究

劉志林

初中數學教學需要重視創新教學模式，引導學生在去觀察圖形的平移、軸對稱、旋轉等相關圖形變換規律，促進學生將理論與實踐相結合，從而有效構建出圖形變化與運動的基本規律.

一、圖形平移變換的理論和應用

1. 理論引入

圖形平移變換就是在同一平面內對相關點、線或者是面進行平移，平移的過程中，移動的點、線、面上的各點都具有相同的移動向量. 除了需要運用平移解決問題，學生還需要掌握平移作圖技巧，實踐作圖過程，有效結合現實生活中的圖形平移變換進行欣賞、分析與運用，實施簡單圖案的設計，提升學生綜合能力.

2. 案例說明

2.1 案例分析

例1 在右圖六邊形ABCDEF中，AB∥ED，AF∥CD，BC∥FE，AB = ED，AF = CD，BC = EF，又有對角線FD⊥BD，FD，BD長度分別為24 cm，18 cm，求該六邊形的面積？

分析過程 題目中實質上給出了三對平行且相等的線段組AB與ED、AF與CD、EF與BC，該六邊形圖形面積的計算首先想到了分割圖形，而實質解答過程中，題目中給出的數據又只有兩個，如何將有用的已知數據與這三組平行且相等結合起來，就需要運用到平移知識.

2.2 案例解答

將△BCD平移到△GAF位置，作出右圖輔助線進行分析. 由GA與CD平行且相等，傳遞出GA與EF也平行且相等，而同時AB與ED也平行且相等，所以△GAB與△FED也是兩個大小形狀相同的三角形. 所以六邊形ABCDEF的面積可以劃分為三部分四邊形ABDE、△BCD、△DEF，轉換為三部分四邊形ABDE、△GAF、△GAB，結合FD⊥BD，得出六邊形ABCDEF面積為S = FD × BD = 24 × 18 = 432 cm2.

2.3 案例總結

在初中數學相關圖形面積計算、幾何證明、代數式證明相關問題的解答過程中，圖形的平移變換起到了畫龍點睛的作用，有效將圖形進行巧妙分割與組合，使得解題過程更加方便快捷.

二、圖形軸對稱變換的理論和應用

1. 理論引入

關于軸對稱相關問題比較多，主要是關于圖形軸對稱識別、轉換之后的計算等. 考查問題一般為將簡單的平面圖形經過一次、二次或者更多次的軸對稱之后其變換后圖形，或者結合軸對稱的相關性質分析紙片的折疊、添加小方塊后構成軸對稱等.

2. 案例說明

2.1 案例分析

例2 將右圖添加一個小方塊，使得其構成軸對稱圖形，請用三種方法添加.

例3 將矩形ABCD沿著AE直線折疊，使得D點落在BC邊上F點處，CE = 3 cm，AB = 8 cm，求右圖中陰影部分面積為多少？

分析過程 例2是簡單的添加方塊的題目，結合軸對稱的性質就可以得到相關答案. 例3是與軸對稱相關的圖形對稱與面積計算相關問題，解答過程中，需要分析出對稱軸、對稱軸引出的圖形中線段相關關系，以及要求出面積可以劃分為幾個部分等.

2.2 案例解答

例4 結合圖形中對稱軸為AE，可以知道，EF = DE，AD = AF，所以也可以得出，DC = DE + EC，也就是8 = DE + 3，得出DE = 5 cm = EF. △EFC中，由勾股定理得出CF = 4 cm. 結合△ABF中，AF2 = AB2 + BF2，且AF = AD = BF + 4，得出BF = 6，陰影部分面積為△EFC與△ABF面積之和. 計算出為30 cm2.

2.3 案例總結

對于例2，這是一道簡單的軸對稱性質分析的題目，例3是關于平行四邊形折痕的相關問題，結合折疊前后這兩個三角形全等，很容易的可以發現相關相等線段，再運用勾股定理就可以得出相關線段長度. 圖形變換中的折疊問題，是軸對稱圖形中的重要考法，立意新穎，對培養學生的識圖能力、分析能力、靈活轉換等能力有重要作用.

三、圖形旋轉變換的理論和應用

1. 理論引入

旋轉變換是基于中心對稱變換的相關問題，它的理論基礎是將一個圖形基于某一點進行旋轉，或者是分析兩個圖形甚至多個圖形的旋轉對稱問題. 每個點經過旋轉后都能找到對應點，同時，每對對應點與旋轉中心，都能構成旋轉角. 關于旋轉問題的應用與考察，一般是有關旋轉變換的證明問題、計算問題等，進行簡單的作圖、圖案設計等.

2. 案例說明

2.1 案例分析

例5 右圖等邊△ABC內有一點P，PA = 2，PC = 4，PB = 2，求BC的長.

分析 如果只是觀察原始圖形，可能會感覺到無從下手，三個已知線段長度都不在一個小三角內，而內部點P具有隨意性，而結合圖形變換中的旋轉變換方法，就可以實現問題解決.

2.2 案例解答

等邊△ABC，將△PBA繞著點B旋轉60°，旋轉到虛線位置，由旋轉可以知道BM = BP，MC = PA. 結合等邊三角形以及旋轉角度∠MBC與∠PBA相等，從而∠MBP = 60°，結合BM = BP，得出等邊△BMP，PM = PB = 2，△CMP中，結合線段關系MC = PA = 2，PM = 2，PC = 4，得PC2 = MC2 + MP2，∠CMP = 90°，∠CPM = 30°，結合∠MPB = 60°，得出∠CPB = 90°，由勾股定理求出BC = 2.

2.3 案例總結

本例題是旋轉相關例題，解題過程結合了旋轉的基本性質、勾股定理、角度計算、三角形角度與邊長之間的聯系等一些知識. 求解過程中，應用圖形變換基本性質，綜合各方面的數學知識，有效理清解題主線，得出問題的解決策略.