中點配中點 靈巧又簡便

胥誠

【摘要】所謂“中點配中點”，即是在已知中點的情況下，再造中點，以連成中位線或平行四邊形，使問題獲解的輔助方法. 它在已知三角形、四邊形的邊上或對角線上的中點等一類問題中有著廣泛的應用.

【關鍵詞】 中點；中位線；平行四邊形

例如：△ABC中，AB = AC，E為AB的中點，在AB延長線上有點D，使BD = BA，求證：CD = 2CE，就是已知中點的問題. 怎樣配好中點？結合結論有下列五種常用解法.

法一：∵ B為AD的中點，若取△ACD中CD邊上的中點F，則B、F恰好配對. （如圖1）

由BF = AC = AB = BE，且有∠2 = ∠ACB = ∠1，并有BC = BC，∴ △BEC ≌ △BFC，∴ △CF = CE，即CD = CE，∴ CD = 2CE.

法二：同法一取AC的中點F′，B、F′也正好配對. 同理有BF′ = CD.

通過△BEC ≌ △F′CB又可證得CE = BF′，使問題得證. （如圖2）

法三：∵ E為AB的中點，若將AC延長到P，使CP = AC，則C為AP的中點，此時E、C正好配對，（如圖3）連接BP，則CE = BP，可通過證△BCD ≌ △CBP（ ），而得到BP = CD，則CE = BP = CD，即CD = 2CE.

法四：同法三延長BC到F，使BC = CF，則C為BF的中點，此時E、C配對，（如圖4）連接AF，則CE = AF，再證△BCD ≌ △ACF（ ），從而CD = AF = 2CE.

法五：∵ E為AB的中點，若將CE延長到F，且使CE = EF，則E又為CF的中點，此時E與E自身配對，（如圖5）連接AF，BF，由對角線互相平分得？荀ACBF，∴FB = AC = AB = BD，又∠CBD + ∠ABC=∠CBD + ∠ACB = 180，而∠CBF + ∠ACB = 180°，∴∠CBF = ∠CBD，

又BC = BC，∴ △BCF ≌ △BCD，∴ CD = CF = 2CE.

由此可見，配中點可以是取某一線段的中點，（如法一、法二），也可以是加倍延長，使某點成為中點，（如法三、法四、法五）. 以構造三角形的中位線，造成全等三角形（如法一、法二、法三、法四）或平行四邊形（如法五）. 既可以是兩個不同點配對（如法一、法二、法三、法四），也可以是同一點自身配對（如法五）.

對下列練習，同學們不妨一試.

1. 在△ABC中，D為BC的中點，E為AD的中點，射線BE交AC于F，則AF = AC.

提示：取FC的中點G，連DG（如圖6）

2. 四邊形任一組對邊中點連線小于另一組對邊之和的一半.

提示：連BD、取BD的中點P，連PN，PM（如圖7）.

3. 已知：在四邊形ABCD中，M，N，P分別為AB，CD，BC的中點，AP交CM于G，MN交DG于O，求證：

① OM = ON，② DO = 3GO.

提示：（如圖8）連AC，取CG的中點Q，連NQ.

4. 如圖9，在 △ABC中，D為AC上一點，且CD = AB，M、N分別為BC、AD的中點，MN交BA的延長線于E，

求證：AN = AE.

提示：連BD，取BD的中點P，

連PM，PN.