見微知著 大題巧解

【摘要】 在現實世界中，控制系統的設計都要以被控對象的數學模型為依據. 系統中的不確定性和時滯是普遍存在的，并且是造成系統不穩定和性能變壞的主要原因. 基于這一原因，在控制系統設計過程的系統模型建立和控制器設計過程中，考慮這兩種因素的影響在工程實際應用中是否可行就顯得更為重要了. 目前，有關不確定性系統、時滯系統或者兩者的復合系統方面的論文很多，但是研究有關系統之間的論文并不多，本文試圖從宏觀上對這些研究進行一個整合和總結，從而發現它們之間的聯系和區別，便于更好地理解和研究.

【關鍵詞】 不確定時滯系統；魯邦穩定性；Lyapunov函數

在現實世界中，控制系統的設計都要以被控對象的數學模型為依據. 而在許多實際系統中，如航空航天、化工冶金、電網等系統，由于測量的不靈敏、信號的傳輸和元件的老化等原因，系統中的不確定性和時滯是普遍存在的，并且是造成系統不穩定和性能變壞的主要原因. 其中不確定性通常包括外部的不確定性和內部的不確定性兩種. 一般有隨機模型、統計模型、模糊不確定性模型、未知有界不確定模型等4種不確定性模型，其中對于未知有界不確定性模型，又可分為結構不確定性和非結構不確定性兩種.

基于這一原因，在控制系統設計過程的系統模型建立和控制器設計過程中，考慮這兩種因素的影響在工程實際應用中是否可行就顯得更為重要了. 目前，有關不確定性系統、時滯系統或者兩者的復合系統方面的論文很多，基本上也都是構造Lyapunov函數，結合線性矩陣不等式的相關知識，得到相關結論. 但是研究有關系統之間的論文不多，本文試圖從宏觀上對這些研究進行一個整合和總結，從而發現它們之間的聯系和區別，便于更好地理解和研究.

我們研究時滯系統1：

（t） = Ax（t） + Bx（t - d（t）），t > 0，x（t） = φ（t），t∈[-τ，0].

的魯邦穩定性，首先要構造Lyapunov函數：

V（t） = xT（t）Px（t）+xT（s）Qx（s）dx +

T（s）Z（s）dsdθ.

我們研究不確定系統2：

E（t） = （A + ΔA）x（t） + （A + ΔA1）x（t - τ），t > 0x（t） = φ（t），t∈[-d，0].

的魯邦穩定性，首先要構造Lyapunov函數：

V（t） = xT（t）PTEx（t）+xT（s）Qx（s）dx +

T（s）ZE（s）dsdθ

我們研究不確定系統3：

E（t） = Ax（t） + A1x（t - τ（t）），x（t） = ？準（t），t∈[-τ，0].

的魯邦穩定性，首先要構造Lyapunov函數：

V（t） = xT（t）PTEx（t）+xT（s）Qx（s）dx +

T（s）ETZEx（s）dsdθ.

我們研究不確定系統4：

E（t） = （A + ΔA）x（t） + （A + ΔA1）x（t - τ（t）），t > 0，x（t） = φ（t），t∈[-τ，0].

的魯邦穩定性，首先要構造Lyapunov函數

V（t） = xT（t）PTEx（t）+xT（s）Qx（s）dx +

T（s）ETZEx（s）dsdθ.

認真比較大家不難發現，系統1可以看成是系統3的特殊情況，而其Lyapunov函數亦是如此. 系統4是在系統2的一種推廣，而Lyapunov函數也只需作了相應的變化即可. 即：要證明系統的魯邦穩定性，有一種方法就是我們可以根據系統的特性，對其對于的Lyapunov函數稍作變化從而解決問題，真可謂大題巧解.

在平時做學問，搞研究時我們應該善于發現問題，求同存異，相互比較，相互參照. 在我們平時的教學中也應如此，應引導學生觀察事物，去發現世界事物之間的聯系，從而達到掌握世界、利用世界和改造世界的目的.

【參考文獻】

[1]蘇宏業， 褚健， 魯有全，等.不確定時滯系統的魯棒控制理論[M]. 北京： 科學出版社，2007.

[2]李代欽.幾類變時滯系統的魯棒穩定性研究[J]. 長沙： 湖南大學， 2009.