淺談函數思想在數列中的應用

劉嶠　邱奉美

【摘要】 數列是一種特殊的函數，在解決數列問題時，要善于利用函數的知識，函數的觀點，函數的思想，以它的概念、圖像、性質為紐帶，架起函數與數列的橋梁，揭示它們的內在聯系，從而為學生解答數列問題提供新的途徑.

【關鍵詞】 函數；數列

一、運用函數思想理解數列的特點

數列是一種特殊的函數這種函數的定義域是正整數集N+或是正整數集的有限子集，因而其函數圖像是一系列孤立的點（不連續），而不像前面研究過的初等函數一般都是連續的曲線. 因此理解數列問題時，可以類比函數來理解，往往會有意想不到的效果.

例1 設{an}為等差數例，Sn為數列{an}的前n項和，已知S7 = 21，S15 = -75，Tn為數列的前n項和，求Tn的最大值.

分析 列方程組可求得Sn，繼而求得Tn，把Tn看成關于自變量n的函數來求最大值即可.

解 設等差數列{an}的公差為d，則Sn = na1 + n（n - 1）d，

∵ S7 = 21，S15 = -75，∴7a1 + 21d = 21，15a1 + 105d = -75，解得a1 = 9，d = -2.

∴ Sn = na1 + d = 9n - （n2 - n） = 10n - n2，

∴ = 10 - n.

∵ - = -1，

∴數列是首項為9，公差為-1的等差數列，

∴ Tn = = -n2 + n =

-n - 2 + .

∵ n∈N+，∴ 當n = 9或n=10時，Tn有最大值45.

二、函數性質在數列問題中的應用

數列具有單調性、周期性，因此研究數列問題時，可以類比函數的一些性質來研究. 例如，數列中求某項的取值范圍問題、最值問題等就可以利用函數思想，轉化成求函數值域的問題或解不等式的問題.

1. 函數的周期性在數列中的應用（滿足an + T = an）

例2 數列{an}滿足a1 = a2 = 1，a3 = 2，且對任意自然數n均有an·an+1·an+2 ≠ 1，又an·an+1·an+2·an+3 = an + an+1 + an+2 + an+3，則a1 + a2 + a3 + … + a100的值是多少？

解 由a1 = a2 = 1，a3 = 2可得a4 = 4.

又an·an+1·an+2·an+3 = an + an+1 + an+2 + an+3.

∴ an+1·an+2·an+3·an+4 = an+1 + an+2 + an+3 + an+4.

兩式相減，得（an - an+4）（an+1·an+2·an+3 - 1） = 0.

又an+1·an+2·an+3 = 1，∴ an = an+4，∴T = 4.

∴ a1 + a2 + a3 +…+a100 = 25（a1 + a2 + a3 + a4） = 25 × 8 = 200.

2. 函數單調性在數列中的應用

由函數的圖像可知，只要數列每個點比它前面一個點高（an > an-1），則數列遞增. 反之，則數列遞減. 等差數列的通向公式為an = a1 + （n - 1）d = nd + a1 - d，可以看作an關于n的一次函數上的離散點，等比數列的通向公式為an = a1qn-1，可以看作an關于n的指數函數上的離散點，我們常用數列單調性求最值. 解決數列單調性常用的方法有：作差法、作商法、構造函數法.

例3 數列{an}中，an = （n∈N+），則該數列的最大項是第幾項？

解 令g（x） = = （x ≥ 1）.

而令g（x） = x + （x ≥ 1），

則g′（x） = 1 - = .

令g′（x） ≥ 0，得x ≥ ；

令g′（x） < 0，得1 < x < .

∴ g（x）在（1，）上單調遞減，在（，+∞）上單調遞增.

故f（x）在（1，）上單調遞增，在（，+∞）上單調遞減，而12 < <13.

故an的最大項是a12或a13.其中a12 = ，a13 = .

∴ an的最大項是a12或a13.

三、運用函數的數形結合思想解決數列問題

數形結合思想在數列中主要表現在將數列中的“數”的問題轉化為函數中的“形”的問題來解決.

例4 已知數列{an}通項an = （n∈N+），前30項中最大項和最小項分別是 （ ）.

A. a1，a3 B. a1，a8 C. a10，a9 D. a10，a30

解析 an = = 1 + .

考察函數f（x） = 的圖像.

反思：本題看似是數列問題，其實是利用了數列與反比例函數的關系，利用函數的單調性以及反比例函數圖像來對數列中各項的大小進行比較.