三步驟突破錯位相減法

陳澤龍

【摘要】 縱觀歷年高考，數(shù)列求和作為高考一個必考知識點，而錯位相減法是數(shù)列求和的一項重要方法. 本文主要通過“變符號，定項數(shù)，巧檢驗”三個步驟并結(jié)合實例突破錯位相減法.

【關(guān)鍵詞】 錯位相減法；三步驟；數(shù)列

已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和Tn，通常使用錯位相減法. 錯位相減法是數(shù)列求和的一項重要方法，一直是高考的重點和熱點. 錯位相減法程序化的步驟讓學(xué)生容易掌握和理解，但運算化簡能力要求較高，學(xué)生在運算過程中容易出錯，難于得到正確的結(jié)果. 從歷年的高考答卷中發(fā)現(xiàn)，能用錯位相減法算出正確結(jié)果的考生少之又少. 學(xué)生在應(yīng)用錯位相減法解決數(shù)列求和問題時，主要在三個地方容易出錯. 針對易錯點，本人提出三步解決法：“變符號，定項數(shù)，巧檢驗”. 這三個步驟，將有助學(xué)生出奇制勝，一舉突破錯位相減法.

易錯點分析：

易錯點一：上述求解過程中，（3）式中最后一項的符號易出錯，這一項如不特別注意，很容易寫成加號.

易錯點二：上述（3）式，除去首項和末項，中間新構(gòu)造的等比數(shù)列和式應(yīng)為n - 1項的和.

易錯點三：經(jīng)過較為復(fù)雜的運算、化簡得到的結(jié)果（4）式可能有誤.

應(yīng)對措施：

1. 變符號，牢記經(jīng)過錯位相減得到的（3）式前面各項的符號均為加號，最后一項的符號應(yīng)變?yōu)闇p號.

2. 定項數(shù)，切記經(jīng)過錯位相減得到的（3）式除去首項和末項，中間的等比數(shù)列和式是n - 1項的和.

3. 巧檢驗，對于經(jīng)過艱苦運算得到的最后結(jié)果（4）式，可巧妙的使用T1 = a1b1進行檢驗. 若T1 ≠ a1b1，那結(jié)果肯定錯了. 上述例1中，根據(jù)（4）式得到T1 = -2 + 5 = 3，而a1b1 = 3·1 = 3，符合T1 = a1b1.

例2 已知等差數(shù)列{an}滿足：a5 = 14，a7 = 20.設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，且bn = 2 - 2·Sn.

（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；

反思檢查：（1）變符號；（2）定項數(shù)；（3）巧檢驗，由例2的（4）式可知，T1 = = 3， = 3，符合T1 = a1b1.

利用上述三步驟，“變符號、定項數(shù)、巧檢驗”. 重視解題過程中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，并用特殊值巧妙驗證結(jié)果的正確性. 必能化腐朽為神奇，大幅度提高利用錯位相減法解題的正確率，增強廣大學(xué)子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.