定積分思想中近似代替的教學注記

何宗祥 曹亞文

【摘要】 針對定積分思想的教學過程中，容易引起和產生混淆的近似代替環節，分析了產生問題的原因、提出了解決問題的方法和途徑、并給出了具體教學過程中實施的建議.

【關鍵詞 】 定積分； 分割；等價無窮小；近似代替

【基金項目】 本項目是2016年安徽省高校省級自然科學研究重點項目，項目名稱：高等水生植物抑藻的數學模型構建與應用（KJ2016A268）.

在運用定積分解決實際問題的過程中，近似代替是定積分思想的一個重要環節.隨著分割越來越細，如何選擇特定的、規則的、熟悉性質的已知量近似代替被分割后的小對象，這不僅關系到定積分表達式中被積函數的形式，還關系到定積分的計算量，更重要的是關系到定積分思想運用的合理性.這在運用定積分解決實際問題的教學過程中，是一個十分重要、卻又必須交待清楚、而實際上卻常常忽略的問題.很多學生由于忽視了這一環節的處理，往往在運用定積分解決實際問題的過程中感到不解、困惑和迷茫.

在運用定積分解決實際問題的教學過程中，一定要遵循“隨著分割的加細，研究對象被分割后的小對象與近似代替其的小對象之間是等價無窮小”的原則.只有這樣才可以使得定積分思想得到合理性的運用、實際問題得到圓滿的解決. 但是，在實際教學過程中，由于教師的強調不足以及學生的重視不夠，往往造成部分學生只注重考慮隨著分割的加細，被分割后的小對象與近似代替其的小對象都是無窮小的事實，而忽略、或者基本上不考慮他們之間還必須是等價無窮小的這一根本要求.這樣下去的結果往往是實際問題難以通過定積分的運用得到合理的解決，從而使得學生對自己運用定積分解決實際問題的能力感到懷疑，失去解決實際問題和進一步分析問題的信心.這對學生學習積分學是十分不利和有害的，對他們今后走向社會在工作中運用定積分解決實際問題也是有負面影響的.

以下就運用定積分思想，在求平面曲線的弧長、空間曲面的面積這兩個實際問題的教學過程中，應該如何遵循“隨著分割的加細，研究對象被分割后的小對象與近似代替其的小對象之間是等價無窮小”這一根本原則，提出一些想法、介紹一些做法.

對于平面光滑曲線弧段L（）：y = f（x），x∈[a，b]，在其上依次任意取n - 1個點，則被分割成n個小弧段.記 T = {|Mi（xi，yi）∈L，A = M0，B = Mn，i = 1，2，…，n}為該分割.由于 = 1，故小弧段的長||可以用其內接直線段的長|Mi-1Mi|近似代替.于是，平面光滑曲線弧段的弧長[1]

s = || = |Mi-1Mi| = dx.

在這一實際教學過程中，如果教師沒有根據平面曲線弧段L（）：y =f（x），x∈[a，b]的光滑性，利用“兩邊夾”定理[1] 講透徹并且強調 = 1，那么，不可避免的就會有學生提出：隨著分割的加細，作為無窮小的小弧段的長||為什么可以其用內接直線段的長||近似代替，卻不可以用同是無窮小的|Δxi|、|Δyi|近似代替？這種問題的提出，是學生對 = 1這一根本原則的理解和把握不夠. 當然，在教師能根據曲線弧段L（）：y =f（x），x∈[a，b]的光滑性，講透徹并且強調 = 1的前提下，學生就能夠比較好的理解和把握“隨著分割的加細，研究對象被分割后的小對象與近似代替其的小對象之間是等價無窮小”這一根本原則，那么，隨著分割的加細，作為無窮小的小弧段的長||不僅可以用其內接直線段的長||近似代替，還可以用小弧段上任意點的切線在[xi-1，xi]上切線段的長|Δxi|，？坌ξi∈[xi-1，xi]，i=1，2，…，n，近似代替.這樣，學生對運用定積分求平面光滑曲線的弧長就會有一個比較好的、深入的和全面的認識、理解和把握.這對他們學習和運用積分學是十分有益的.

同樣，對于空間光滑曲面塊∑：z = f（x，y），（x，y）∈D，若T = {D1，D2，…，Dn}是D的任意一個分割，則相應的∑也被分割成n個小曲面塊∑1，∑2，…∑n，且∑i在坐標面xoy上的投影為Di，∑i的面積為ΔSi，Di的面積為Δσi，過∑i上任意一點 Mi（ξi，ηi，f（ξi，ηi））的切平面為πi，πi 上小平面塊Ai在坐標面xoy上的投影仍為Di，Ai的面積為ΔAi.由空間曲面塊∑：z = f（x，y），（x，y）∈D的光滑性，并利用“兩邊夾”定理可得 = 1，故小曲面塊∑i的面積ΔSi可以用過∑i上任意一點 Mi（ξi，ηi，f（ξi，ηi））的切平面πi上小平面塊Ai的面積ΔAi近似代替，i = 1，2，…，n.于是，空間光滑曲面塊∑：z = f（x，y），（x，y）∈D的面積[1]

教學過程中，如果教師沒有根據空間曲面塊 ∑：z = f（x，y），（x，y）∈D的光滑性，利用“兩邊夾”定理講透徹并且強調 = 1，再加上許瓦耳茲（H.A.Schwarz）的例子[2]的影響就使得學生在運用定積分思想求空間光滑曲面塊的面積過程中，對近似代替這一環節的把握深感不解、困惑和迷茫.事實上，教師在講透徹并且強調上述等價無窮小的同時，再指出許瓦耳茲的例子只是強調小曲面塊的面積用其內接平面塊的面積代替并不總是能夠成立的，只要能夠保證隨著分割的越來越細，小曲面塊上任一點的法向量與其內接平面塊的法向量越來越趨于平行，那么小曲面塊的面積用其內接平面塊的面積代替還是可行的.因為此時 = 1，其中ΔBi為∑i內接平面塊的面積，i = 1，2，…，n.所以講透徹并且強調 = 1是運用定積分思想求空間光滑曲面塊面積的關鍵.對它的理解不僅可以說明用小切平面塊的面積代替小曲面塊的面積的合理性，而且還可以得到能夠代替小曲面塊面積的其他形式.由于這些能夠代替小曲面塊面積的各種形式，當分割越來越細時，都是小曲面塊面積的等價無窮小，故空間光滑曲面塊的面積公式是統一（唯一）的形式.

綜上所述，在運用定積分思想解決實際問題的教學過程中，一定要注重對“隨著分割的加細，研究對象被分割后的小對象與近似代替其的小對象之間是等價無窮小”這一根本原則的把握.只有這樣，才能從眾多的近似代替的各種形式中，提取出最合理的被積表達式的結構，為更好的運用定積分的思想，使實際問題得到圓滿解決提供最有效的支持.

【參考文獻】

[1]華東師范大學數學系編，數學分析[M].第三版. 北京：高等教育出版社，2001.

[2]Г.М.菲赫金哥爾茨著，微積分學教程[M].吳親仁，路可見譯，第三卷第二分冊. 北京：人民教育出版社，1978.