由一道期末試題引發的思考

熊敏

我在過去的一學期里參與命制初一期末數學試卷。其中23題，敘述并證明勾股定理的逆定理，像預料之中的一樣，得分率極低，別說證明，很多學生連勾股定理的逆定理內容都敘述不清楚。是哪里出了問題？學生說老師沒有講過，老師說教學目標沒有要求，我不想去爭論這道題目該不該考察的問題，只是這道題目引發了我一點點思考，希望能和大家一起探討。

思考一：教師的根本素養在教材的深入研究

我們要思考一下下面幾個問題：

（1）為何要學習“勾股定理的逆定理”？

（2）“勾股定理的逆定理”認知基礎是什么？

（3）本內容對學生培養學生的數學思維的哪些方面？

（4）證明“勾股定理的逆定理”的方法是怎么想到的？

（5）符合學生的認知結構嗎？

首先，作為一流名校的學生，有很好的認知能力，勾股定理的逆定理證明基于構造全等的直角三角形三角形，這正是七年級上冊的重點、難點內容，學生掌握的較好，能把新舊知識聯系起來，應該啟發學生自己去討論鉆研，但是我們教師缺乏引導。

其次，我們的教師有很好的科研能力，有老師說這是舊教材的內容，與新教材不符，站在學習數學的角度來看，我們可以根據學生的水平，不同程度的去參透，像這樣的問題需要學科組討論，該怎樣講？講到什么程度？特別是給青年教師一個指引，學會用教材教，而不是教教材。

記得上學期末的時候，特級教師李慧珍老師到了我們年級聽了每位數學老師的課，她給我評課的時候，除了給予好評之外，她很嚴肅的提出，為什么不用書上的課堂練習？而自己額外補充練習？說實話，當時我不是很理解。經過一段時間的思考，我能感悟到其中的道理，我們常常談到的教學基本功，往往提到語言表達能力，課堂調控能力，以及板書、情感、教態等。其實，最關鍵的是教師對教材的理解準確不準確、深刻不深刻。不準確會產生誤導，不深入必然流于淺薄。沒有對數學內容的準確把握、深刻理解，即使有高技巧的華麗教學，也不會有高水平的數學教學。因為，學生新認知結構的構建需要提供知識結構的優質素材，“教什么”比“怎樣教”更重要。所以，教學中教師要實現有“教教材”向“利用教材來教”的觀念和行為轉變，努力做好聯系實際，還原教材生活本色。似真發展，還原知識的生長過程。民主教學，促進教材動態生成。改編習題，促進學生發散思維能力的發展。拓展教材，促進課程資源有效開發。

思考二：教師應該關注知識的生長過程，培養推理能力

注意知識方法過程教學，特別是數學定理、公式的推導過程和例題的求解過程，基本數學思想和數學方法、基本的解題思路方法被想到的過程，要敢于、勇于向學生暴露自己的思維、展現自己的思維，讓學生了解感悟教師的求解過程的思路方法，避免教師一說就對、一猜就準、一看就會，只給學生現成結論局面的出現。教學中，要將數學教學作為一種數學思維活動來進行，要讓學生親身經歷數學問題的提出過程、解決方法的探索過程、方法能力的遷移過程。讓學生在參與數學思維活動、經歷知識產生發展過程中，逐步提高數學能力。由于受“應試教育”慣性的影響，傳統教學過程中存在一些弊端，突出表現在：萎縮和削弱知識產生、發展的過程，過分膨脹應用的過程，即概念公式一帶而過，大量時間用于練習應用。要改變上述現象，必須提高認識，變“結果”教學為“過程”教學，即在課堂教學中充分揭示數學思維過程，加強知識產生發展過程的教學，也就是要認真研究概念被概括的過程、結論被推導的過程和解題方法被想到的過程。

就說勾股定理的逆定理的證明過程，是不是容易能被想到呢？筆者認為未必。在不了解同一法時，能想出來的可能性很小。但是在講解這個證明的過程中對學生的推理能力，能夠有很好的鍛煉，也積累了新的一種數學方法。對本節內容，教學目標之一經歷直角三角形的判別條件（即勾股定理的逆定理）的探究過程，進一步發展學生的推理能力。這里我就想談談推理。

推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是根據已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐的結果，以及個人的經驗和直覺等推測某些結果的推理過程，歸納、類比是合情推理常用的思維方法。在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發現結論、探索和提供思路的作用，有利于創新意識的培養。演繹推理是根據已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等），按照嚴格的邏輯法則得到新結論的推理過程。培養和提高學生演繹推理或邏輯證明的能力是高中數學課程的重要目標，合情推理和演繹推理之間聯系緊密、相輔相成。初中階段，我們應該從合情推理入手，波利亞呼吁。“讓我們教猜想吧！”再聯想到有關團體對中外學生調查結果顯示的中國學生科學測驗成績較差的信息，不能不使我們感到加強對推理能力的培養已是刻不容緩。因此，“既教證明，又教猜想”，不至于在上了高中以后，覺得很不適應。若在教學中能正確地使用推理的教學模式，至少不會削弱學科教學的技術功能，而文化教育功能將得到明顯的加強，學生有效地應用推理的技能得到提高，創造能力得到加強。

羅增儒教授在解題學引論中指出：“編擬數學題需要深厚的數學知識功底，良好的思維素質和熟練的編題技巧。有時候，創造一個問題比解決一個問題更為困難。”這就告訴我們試題的創新應扎根于教學研究之中，不斷學習，加強解題研究是試題創新的條件。我們要不斷努力探索，將培養和發展學生數學思維能力，提高教師的專業素養。

【參考文獻】

[1]中學教學參考

[2]喬治.波利亞，閻育蘇譯.怎樣解題[M].北京：科學出版社，1982

[3]喬治.波利亞，李心燦譯.數學與猜想（第一卷）[M].北京：科學出版社，1984

（西安交通大學附屬中學分校）