淺談如何解答圖形運動型試題

吳毓文

摘 要：探究幾何圖形在運動變化過程中與圖形相關的某些量的變化或其中存在的函數關系，對于圖形運動型試題，要注意用運動與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握圖形運動與變化的全過程，抓住其中的等量關系和變量關系，并特別關注一些不變的量，不變的關系或特殊關系，善于化動為靜，由特殊情形逐步過渡到一般情形，綜合運用各種相關知識及數形結合、分類討論、轉化等數學思想加以解決。

關鍵詞：圖形運動；化動為靜；方程模型；數學思想

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）16-087-01

探究幾何圖形在運動變化過程中與圖形相關的某些量（如角度，線段，周長，面積及相關的關系）的變化或其中存在的函數關系，這類題目叫做圖形運動型試題。對于圖形運動型試題，要注意用運動與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握圖形運動與變化的全過程，抓住其中的等量關系和變量關系，并特別關注一些不變的量，不變的關系或特殊關系，善于化動為靜，由特殊情形（如特殊點，特殊值，特殊位置，特殊圖形等）逐步過渡到一般情形，綜合運用各種相關知識及數形結合，分類討論，轉化等數學思想加以解決。解決這類問題的關鍵是動中求靜，靈活運用有關數學知識解決問題。

從變換的角度和運動變化來研究三角形、四邊形、函數圖像等圖形，通過“對稱、動點的運動”等研究手段和方法，來探索與發現圖形性質及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。選擇基本的幾何圖形，讓學生經歷探索的過程，以能力立意，考查學生的自主探究能力，促進培養學生解決問題的能力。圖形在動點的運動過程中觀察圖形的變化情況，需要理解圖形在不同位置的情況，才能做好計算推理的過程。在變化中找到不變的性質是解決數學“動點”探究題的基本思路，這也是動態幾何數學問題中最核心的數學本質。

課改后數學卷中的數學壓軸性題正逐步轉向數形結合、動態幾何、動手操作、實驗探究等方向發展。從數學思想的層面上講：運動觀點；方程思想；數形結合思想；分類思想；轉化思想等。研究歷年來各區的壓軸性試題，就能找到中考數學試題的熱點的形成和命題的動向，它有利于我們教師在教學中研究對策，把握方向。只的這樣，才能更好的培養學生解題素養，在素質教育的背景下更明確地體現課程標準的導向。下面以點的運動型問題舉例分析：

例：如圖，已知二次函數 的圖象經過點A（3，0），B（2，-3），C（0，-3）.

（1）求此函數的解析式及圖象的對稱軸； （2）點P從B點出發以每秒0.1個單位的速度沿線段BC向C點運動，點Q從O點出發以相同的速度沿線段OA向A點運動，其中一個動點到達端點時，另一個也隨之停止運動.設運動時間為t秒.①當t為何值時，四邊形ABPQ為等腰梯形；②設PQ與對稱軸的交點為M，過M點作x軸的平行線交AB于點N，設四邊形ANPQ的面積為S，求面積S關于時間t的函數解析式，并指出t的取值范圍；當t為何值時，S有最大值或最小值.

解：（1）∵二次函數 的圖象經過點C（0，-3），∴c=-3.

將點A（3，0），B（2，-3）代入 ，得 ，解得 ，

∴ ，配方得 ，∴對稱軸為直線 。

（2）①由題意可知BP=OQ=0.1t，∵點B、點C的縱坐標相等，∴BC∥OA。過點B，點P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分別為D、E。要使四邊形ABPQ為等腰梯形，只需PQ=AB，即QE=AD=1.又QE=OE-OQ=（2-0.1t）-0.1t=2-0.2t， ∴2-0.2t=1，解得t=5。即t=5秒時，四邊形ABPQ為等腰梯形。

②設對稱軸與BC、x軸的交點分別為F、G，∵對稱軸直線 是線段BC的垂直平分線。

∴BF=CF=OG=1，又BP=OQ，∴PF=QG。又∵∠PMF=∠QMG，∴△MFP≌△MGQ，∴MF=MG，∴點M為FG的中點。

∴ ，由 ， ，∴ ，又BC=2，OA=3，∴點P運動到點C時停止運動，需要20秒，∴ ，∴當t=20秒時，面積S有最小值3.

解決這類問題的關鍵是把握量與量之間的關系，可能會涉及全等、相似等。

函數揭示了運動變化過程中量與量之間的變化規律，是初中數學的重要內容。動點問題反映的是一種函數思想，由于某一個點或某圖形的有條件地運動變化，引起未知量與已知量間的一種變化關系，這種變化關系就是動點問題中的函數關系。