區間值模糊圖和模糊擬陣

丁毓，謝建明，李小南*

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區間值模糊圖和模糊擬陣

丁毓，謝建明，李小南*

(西安電子科技大學數學與統計學院，西安市郵編；710071)

圖與擬陣有著密切的聯系。本文研究區間值模糊圖與模糊擬陣之間的關系。對于任意一個區間值模糊圖，通過區間排序誘導出一個模糊圖。由截模糊圖得到一系列分明圖，又因為每個分明圖都可以得到一個圈擬陣，從而可獲得擬陣序列。最后由擬陣序列構造出一個模糊擬陣。最后指出區間值模糊圖和模糊擬陣之間不存在一一對應關系。

區間排序；區間值模糊圖；模糊擬陣；擬陣序列

引言

自1965年Zadeh[1]提出模糊集合的概念以后，諸多的數學工作者開始致力于模糊集合的數學理論研究，開辟了許多模糊數學的研究方向和領域。現在模糊集合幾乎滲入了基于經典集合論的所有純數學分支中，如拓撲、代數、幾何、算術、測度論、概率論、范疇論等。在1975年，Zadeh[2]提出了區間值模糊集的概念。同年，作為歐拉圖論的一個分支，Rosenfeid[3]提出了模糊圖的概念、定義了模糊集之間的模糊關系，并將分明圖論中許多概念和結論推廣到了模糊圖理論中。此后國內外不少學者也都致力于模糊圖理論的研究，提出了許多新見解、新理論、新方法。關于模糊圖理論及應用方面的進展可參見文獻[4]。之后，許多學者提出了各種模糊集的推廣理論。例如，區間值模糊集和直覺模糊集是模糊集合的兩種重要的推廣，且這兩種模糊集的推廣理論現在已經和圖論的研究結合在了一起，參見Akram和Dudek[5]。

擬陣首先由Whitney[6]提出。作為同時推廣了圖和向量空間中的某種獨立結構，擬陣和圖及向量空間有著密切的關系。1988年，Goetschel和Voxman[7]首次定義并研究了模糊擬陣。既然圖和擬陣有如此密切的聯系，那么研究模糊圖包括區間值模糊圖和直覺模糊圖，與模糊擬陣的聯系就是非常自然的事情了。本文將研究區間值模糊圖和模糊擬陣之間的聯系。

本文首先考慮區間的排序問題，通過某種規則將區間值模糊圖中的邊排序，然后根據邊的權序截得到一列分明圖，進而得到一列分明擬陣。根據模糊集的分解定理，可由分明擬陣列構造一個模糊集族，最后證明了這個模糊集族構成一個模糊擬陣。這樣就建立了區間值模糊圖和模糊擬陣之間的聯系。

1 預備知識

定義1.1 設U是論域，稱映射

定義1.2 (Oxley[8]) 擬陣是這樣一個二元組(),其中E是一個有限的集合，I是集合E的一個非空子集族，且滿足以下兩個條件：

設M=(E,I)是一個擬陣。集合I中的元素被稱作擬陣M的獨立集。

定義1.3 (Goetschel和Voxman[7]) 設X是一個有限集，且是一個非空的模糊集族，滿足以下條件

定義1.4 設是一個非空有限集合，是由中元素組成的無序對，則稱（,）為一個（分明）圖。中的元素稱為圖的頂點，中的元素稱為邊。

定義1.5 區間值模糊圖[5]：設是一個非空有限集,是的子集。設，分別是和上區間值模糊集，且滿足

(4)

2 區間值模糊圖誘導模糊擬陣

特別地：

圖1 區間值模糊圖G=(A,B)

模糊圖是一種特殊的賦權圖，而區間值模糊圖又是模糊圖的推廣，權值由點變為區間。對于一個區間數，取其點為代表元（根據不同的實際情況可適當取值，一般情況下可取=1/2），用代表元來表示這個區間數，則區間值模糊圖G=（A,B）可以表示為成為一個模糊圖=，稱之為由區間值模糊圖誘導出的點模糊圖。

例2.1 設=（,）（如圖1所示）是一個區間值模糊圖，求它誘導的模糊圖。取0.5 。

注意本文所涉及的集合都是有限集，因此由模糊圖誘導出的擬陣的個數也是有限的。通過命題2.1 還可以得出下面的推論。

注2.1 區間值模糊圖每條邊的權值為區間。這里 采用的是區間數的序，而且前面已經指出 常常取為1/2。這樣就產生了兩個問題：

1.若采用其它的區間數排序方法，也會得到相應的分明圖序列從而產生分明擬陣序列，那么這樣得到的擬陣序列和采用本文中用到的方法有何區別？

2.本文中取為1/2，那么若取其它值，得到的分明擬陣列會不同嗎？

對于第一個問題，也即采用其它的區間數排序法來討論區間值模糊圖和模糊擬陣的聯系，將是 以后的一個研究課題。對于第二個問題， 很容易舉例說明，取值不同，得到的分明擬陣序列有可能不同。

所以，對于任意的一個區間值模糊圖=（,），其誘導的點模糊圖為，取其基礎序列中的每一個數()，都可以截得一個分明圖，是分明圖的圈擬陣，其獨立集族為，令。則，…，是上的擬陣序列，且滿足條件，其中。

在接下來的例子中將會發現對于不同的區間值模糊圖，卻有可能誘導出相同的擬陣序列。

例2.3考慮圖4中的兩個區間值模糊圖（a）和（b）。

（a）?????? ??????(b)

圖5 模糊圖（a）和(b)誘導的模糊圖

任意給一個區間值模糊圖G=（A, B），就會存在唯一的一個擬陣序列與之對應。而又可以由模糊集的分解定理:設是一個論域U上的模糊集，對于任意的，有可得。如果知道一個模糊集的所有a-截集，那么就可以通過它的a-截集來反過來求出這個模糊集。

解：

故

由上述的討論知道，任意給一個區間值模糊圖，都可以得到其全部由a-截得的獨立集序列（有限）。因此可以用模糊集的分解定理構建一個“模糊獨立集族”（類似例2.4的方法）。接下來給出一個例子來詳細說明。

例2.5依然考慮例2.1中的區間值模糊圖。

證明：區間值模糊圖G=(A,B)的每條邊的權值為區間。根據定義2.1中介紹的區間的排序，可知此區間值模糊圖在經過排序后可以看作等價于一個模糊圖，即此時邊的權值為[0,1]中的數。由前所述，此時可以誘導出一個分明圖列，進而誘導出以個擬陣序列。由命題2.1這樣的擬陣序列是單調的。最后由[7]中定理2.3可知是某個模糊擬陣的模糊獨立集族，即是一個模糊擬陣。

3 區間值模糊圖和模糊擬陣的對應關系

上節給出了從區間值模糊圖構造模糊擬陣的方法，本節指出區間值模糊圖和模糊擬陣不是一一對應的。下面 先看一個例子。

例 3.1 考察圖6和圖7中的兩個區間值模糊圖。設圖6導出的模糊擬陣為。則容易驗證

圖 6 區間值模糊圖G

圖7 區間值模糊圖G2

注 3.1 本文中所提出的從區間值模糊圖導出模糊擬陣的方法是建立在區間值數的排序法基礎上的（）。本節給出了兩個不同區間值模糊圖導出同一個模糊擬陣的例子，其實 還可以給出不同的區間值模糊圖由取不同值而導出同一個模糊擬陣的例子。

4 結語

模糊圖理論是經典圖論的推廣。目前在模糊圖論的應用領域的研究已經極為廣泛，比如聚類分析、系統分析、神經網路、地理信息系統等。區間值模糊圖則是模糊圖論的一個重要推廣，在某些問題上有一些較模糊圖更好的性質。本文研究了區間值模糊圖與模糊擬陣之間的關系。任意給一個區間值模糊圖G=(A,B)，提出了一種構造模糊擬陣的方法。下面列出下一步要進行的工作：

(1) 如前所述，本文從區間值模糊圖構造模糊擬陣的關鍵一步是對區間數排序。現在已有許多區間數排序的方法，那么用不同于本文所采用的序法從區間值模糊圖出發所得到的模糊擬陣與本文中的模糊擬陣有何關系？

(2) 現在已經有多種圖的推廣理論，例如模糊圖，直覺模糊圖、區間值直覺模糊圖等（參考[10]）。是否可以由這些圖的推廣理論用類似本文的方法誘導出模糊擬陣？

（3）G-V模糊擬陣的研究已經取得了很多重要成果（參考[11,12]）。研究基于區間值模糊圖的導出擬陣的性質是一個值得研究的課題。

[1] Zadeh L A. Fuzzy sets [ J]. Information Control, 1965, 8: 338- 353.

[2] Zadeh L A. The concept of a Linguistic variable and its application to approximate reasoning I [ J ]. Information Science, 1975, 8: 199- 249.

[3] Rsenfeld A. Fuzzy graphs[ C ] / / Zadeh L A, Fu K S, Shimura M. Fuzzy sets and their applications. New York: Academic Press, 1975: 77- 95.

[4] Mordeson J N, Nair P S. Fuzzy graphs and fuzzy hypergraphs (second edition) [M ]. Heidelberg: Physica Verlag , 2001.

[5] Muhammad Akram, Wieslaw A.Dudek. Inter-valued fuzzy graphs[J]. Computers and Mathematics with Applications, 2011, 61(2):289-299.

[6] Whitney H. On the abstract properties of linear dependence, American Journal of Mathematics 57(1935):251-256.

[7] Goetschel R, Voxman W, Fuzzy matroids, Fuzzy Sets and Systems 27 (1988): 291-302.

[8]. Oxley J G, Matroid Theory, Oxford University Press, New York, 1992.

[9] 孫海龍，姚衛星．區間數排序方法評述［J］．系統工程學報,2010, 25(4) 304-312.

[10] Atanassov K.T. On intuitionistic fuzzy sets theory, Springer-Verlag, Berlin, 2012.

[11] Li X N, Yi H J, Axioms for fuzzy bases of Hsueh fuzzy matroids, Journal of Intelligent & Fuzzy Systems 29 (2015):1995-2001

[12] Li X N, Yi H J, Fuzzy bases of fuzzy independent set systems, Fuzzy sets and systems, Inpres

Interval-Valued Fuzzy Graphs and Fuzzy Matroids

DING Yu, XIE Jianming, LI Xiaonan

(College of mathematics and statistics, Xidian University, 710071, China;)

Graphs and matroids have a close relationship. In this paper, we study the relation between interval valued fuzzy graph and fuzzy matroid. For any interval valued fuzzy graph, it can induce a fuzzy graph by interval ordering. And then a sequence of crisp graphs can be obtained by cuts of the fuzzy graph. Since a crisp graph can induce a cycle matroid, a sequence of matroids will be constructed. We finally construct a fuzzy matroid from the induced sequence of matroids. Finally, we point out that there is no one-to-one correspondence between interval-valued fuzzy graphs and fuzzy matroids.

Interval ranking; interval-valued fuzzy graph; fuzzy matroids; matroid sequence

672-9129(2016)01-0001-05

O151

A

2016-06-14；

2016-06-23。

國家自然科學基金青年基金（No.61202178）。

丁毓(1993-)，女，新疆伊犁人，2016級碩士；謝建明（1990-），男，新疆石河子人，2015級碩士；李小南(1981-)，男，陜西西安人，副教授，主要研究方向：擬陣推廣理論、粗糙集及三支決策。

(*通信作者電子郵箱：lxn2007@163.com)