一階歐拉型型無界時滯中立型微分方程解的振動準則

王媛，申建華

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一階歐拉型型無界時滯中立型微分方程解的振動準則

王媛1，申建華2

（1. 中南林業科技大學理學院，湖南長沙 410004； 2. 杭州師范大學理學院，浙江杭州 310036）

研究了歐拉型無界時滯中立型微分方程解的振動性，現有文獻只對c=0, n=1時的情況進行了討論，應用時會有局限。為了拓寬此方程的應用范圍，將條件拓寬至n的一般情形，通過建立其相應的“特征方程”，得到了所有解振動的充分必要條件，并由此出發，建立了一些顯式充分條件，所得結果改進和推廣了原有文獻的結論。

振動性；中立型微分方程；無界時滯；歐拉型

1 研究意義

數學中所研究的函數是反映客觀現實世界運動過程中量與量之間的一種關系。在大量的實際問題中會遇到一些復雜的運動過程，這導致無法直接寫出反映運動規律的量與量之間的關系，但建立起這些變量和它們的導數之間的關系卻比較容易。這一事實正是現代應用數學研究人員和工程人員應用微分方程解決實際問題的理論依據。微分方程在物理學、力學、控制、經濟學和管理科學等實際問題中具有廣泛的應用。近年來，隨著機器人的快速發展，微分方程在人工智能和數據挖掘，尤其是深度學習等領域具有越來越重要的作用，因此研究微分方程的解具有理論和實際的雙重意義。

關于常系數和常時滯的中立型微分方程

[, (1.1)

解的振動性的研究已取得了相當豐富的結果[1-6], 這里，特別地，Kulenovic, Ladas等[3]根據其特征方程，證明了下述定理。

定理A 方程（1.1）的所有解振動當且僅當

. (1.2)

近年來，已有一些文獻[7-9]研究了下列具有變系數和變時滯的中立型微分方程

安冉[10]研究了下列歐拉型無界時滯微分方程

定理B方程（1.4）的每一個解振動當且僅當

在文[10]中，作者也給出了方程（1.4）解振動的一些顯示充分條件。

本文中，究竟下列具有歐拉形式的無界時滯中立型微分方程

為了推導出微分方程（1.6）解的振動準則，先給出其解以及解為振動的定義。

2 引理

引理2.1[11]設是區間上連續可導的正值函數，如果存在常數和使得對于充分大的成立，.

（2.2）

由（2.1），可得

（3）由（2）可知，

因此，引理證畢。

3 主要結論

在這一節，將應用前面的引理去建立方程（1.6）的所有解振動的一個充分必要條件，并由此出發，建立方程（1.6）的所有解振動的一此顯示充分條件。

. （3.1）

必要性：反設方程（1.6）不是所有的解都振動，那么方程（1.6）至少存在一個非振動解。不妨假設是方程的一個最終正解，最終負解時的證明相似，故略. 令

由引理2.3，則最終有

再令

（3.3）

， （3.5）

和

定義集合

.

由（3.4）和（3.6）可得

或者

此表明

由引理2.1和引理2.2，有

注3.2 在文[10]中，作者研究了非中立型方程（1.4）解的振動性，得到該方程的所有解振動的充分必要條件（1.5）。因此，上述定理3.1將[10]中的結論推廣到了中立型微分方程（1.6）.

定理3.3設

， （3.8）

那么方程（1.6）的所有解都振動。

證明：（3.1）等價于

根據定理3.1 ,只須證明當（3.8）成立時，有（3.9）成立即可. 令

那么方程（1.6）的所有解都振動。因此，條件（3.8）改進了（3.10）。

那么方程（1.6）的所有解都振動。

因此

因此有（3.9）成立，利用定理3.1得方程（1.6）的所有解都振動. 定理證畢。

4 例子

下面舉例說明定理的應用?？紤]一階中立型時滯微分方程：

考慮一階中立型時滯微分方程

通過計算，發現定理3.5的所有條件是滿足的。因此方程（4.2）的所有解都振動。

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Oscillation of First-order Neutral Differential Equation of EulerType with Unbounded Delays

WANG Yuan1, SHEN Jianhua2

(1. Institute of Mathematics and Physics, Central South University of Forestry and Technology, Changsha 410004, Hunan, China; 2. Institute of Mathematics and Physics, Hangzhou Normal University, Hangzhou310036, Zhejiang, China)

We have researched the oscillation of solution of first order neutral differential equation of Euler type, which is with unbounded delays in this paper. The existing references have only discussed the equation when c=0 and n=1, but in practice, a lot of problems don't meet this condition. To break the limitation, we extent the equation to n. At first, we introduce its characteristic equation and establish a sufficient and necessary condition for the oscillation of all solutions of the equation. Then some explicit oscillation results are presented. This result is an extension of the existing works, which is significant in both theory and practice.

oscillation; neutral equation; unbounded delay; Euler type.

1672-9129(2016)01-00016-06

O175

A

2016-05-06；

2016-05-24。

國家自然科學基金青年項目NO. 11201490。

王媛（1968-- ），女，湖南永州人，副教授，碩士研究生，研究方向：常微分方程；申建華（1961-- ），男，教授，博士研究生，研究方向：常微分方程。