一類Z2對稱五次微分系統的中心條件和極限環分支

桑波

（聊城大學數學科學學院，山東聊城252059）

一類Z2對稱五次微分系統的中心條件和極限環分支

桑波

（聊城大學數學科學學院，山東聊城252059）

本文研究了一類Z2對稱五次微分系統的中心條件和小振幅極限環分支.通過前6階焦點量的計算，獲得了原點為中心的充要條件，并證明系統從原點分支出的小振幅極限環的個數至多為6.最后通過構造后繼函數，給出系統具有6個圍繞原點的小振幅極限環的實例.

五次系統；焦點量；極限環；后繼函數

1　引言

考慮n次多項式微分系統

其中max（deg（Pn），deg（Qn））=n≥2，μ=（μ1，μ2，···，μm）∈Rm，0≤|δ|?1.當δ=0時，由于非線性項的影響，系統（1.1）以原點為中心或細焦點.如何區分稱為中心焦點判定問題？

其中vk（μ）稱為系統在原點的第k階焦點量.

一方面，當多項式系統在原點處的各階焦點量都為零時，系統以該點為中心；另一方面由Hilbert有限基定理，所有焦點量生成的有理數域上的多項式理想是有限生成的，因此中心焦點問題可在有限步內解決.為了獲得系統（1.1）具有中心的充要條件，首先需要計算系統（1.1）的前面各階非零焦點量并對它們進行零點分解，從而得到中心的必要條件；然后利用首次積分、形式首次積分、積分因子、時間可逆性等方法證明所得條件都是充分的.

Bautin解決了二次系統的中心焦點判定問題；Sibirskii解決了一類Z2對稱三次系統的中心判定問題；Sadovskii等［1］利用Cherkas方法解決了一類可約化為Li′enard系統的三次系統的中心判定問題；然而對于一般三次系統以及三次以上系統，目前還沒有徹底的結論.

近二十多年以來出現了很多焦點量算法，比如借助奇點量算法［2，3］、基于偽除的形式冪級數法［4］和基于攝動的標準形算法［5］.但當Pn，Qn為非齊次多項式時，系統（1.1）的焦點量非常復雜且難于約化，為此作者［6］基于重新參數化法給出了焦點量的約化方法.

一般來講，中心焦點問題的最終解決依賴于焦點量的計算，但當計算量過大時，可以通過增加條件的方法加以解決.例如：劉一戎等［2］定義基本李不變量，給出了廣義對稱原理；Lloyd等［7］、Cozma［8］以Gr¨obner基為工具，尋找雙線性變換將一類多項式系統化為時間可逆系統，從而確定中心條件.

設（δ，μ）=（0，μc）時，系統（1.1）以原點為M≥1階細焦點，則當參數（δ，μ）通過點（0，μc）時，系統（1.1）從原點分支出的小振幅極限環的最大個數H0（n）至多為M，其中H0（n）也稱為系統（1.1）在原點處的環性.

關于小振幅極限環的構造，一般總是利用焦點量三角化后解出主變元達到目的；但當無法精確求解主變元時，需要借助陸征一等［9］的實根分離算法實現構造.

對三次系統而言，Chen等［10］利用正則鏈理論和三角列分解方法證明了H0（3）≥9；Yu等［11］證明H0（3）≥12，這是目前已知最好的結果.

引理1.1［12］設系統（1.1）的前k階焦點量依次為

如果

則對系統（1.1）δ=0，μ=μc進行適當的系數微擾，相應系統在原點可分支出k個小振幅極限環.

考慮一類具有齊五次項的Z2對稱系統

Chavarriga等［13］給出其在原點可積的若干充分條件；為了簡化計算，Fercec等［14］轉而研究相應的復系統，對四組僅有8個參數的特例給出了可積的充分條件；Chavarriga等［15］將中心條件的推導列為公開問題.

考慮一類特殊五次系統

下面將給出系統（1.2）以原點為中心的充要條件，并證明其從原點至多可分支出6個小振幅極限環，最后給出具有6個極限環的實例.

2　系統）1.2）的中心條件

根據文［6］的計算方法，系統（1.2）δ=0的前6階非零約化焦點量（不計非零常數因子）為

其中v10，v14分別是五次多項式、七次多項式，其項數分別為53項、64項.

定理2.1系統（1.2）δ=0以原點為中心的充要條件是下列6組條件之一成立

其中

證必要性：通過求解多項式集G=｛v2，v4，v6，v8，v10，v14｝，共得到定理中的6組獨立系數條件，從而必要性得證.

充分性：當條件（i）成立時，系統（1.2）δ=0的向量場關于直線

對稱，因此它以原點為中心.

當條件（ii）成立時，系統（1.2）δ=0以

為積分因子，因此它以原點為中心.

當條件（iii）成立時，系統（1.2）δ=0的向量場關于直線x+y=0對稱，因此它以原點為中心.

當條件（iv）成立時，系統（1.2）δ=0的向量場關于直線

對稱，因此它以原點為中心.

當條件（v）成立時，系統（1.2）δ=0的向量場關于y軸對稱，因此它以原點為中心.

當條件（vi）成立時，系統（1.2）δ=0是Hamilton系統，因此它以原點為中心.定理證畢.

由系統（1.2）δ=0的焦點量結構和定理2.1，可得

推論2.1系統（1.2）在原點鄰近至多存在6個小振幅極限環.

3　系統）1.2）的小振幅極限環分支

下面總設a0=1，a3=b0=-1.通過計算得到

其中J是十次多項式，長達1171項.

定理3.1設系統（1.2）的系數滿足

則系統以原點為14階細焦點；對其進行適當的系數擾動，從原點可分支出6個小振幅極限環.

證在定理的系數條件下，通過計算可得系統（1.2）的前14階焦點量和J依次為

從而滿足引理1.1的條件，故定理得證.

定理3.2假設系統（1.2）滿足

則當0＜|?|?1時，在原點充分小的鄰域內，系統（1.2）恰有6個小振幅極限環，其位置分別在圓x2+y2=k2?2附近，k=1，2，···，6.

證當0＜|?|?1時，系統（1.2）的第0階至第14階焦點量依次為

所以系統（1.2）在原點鄰域的擬后繼函數為

從而由文［3］知系統（1.2）在原點的充分小鄰域內恰有6個小振幅極限環，其位置分別在圓x2+y2=k2?2附近，k=1，2，···，6.

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CENTER CONDITIONS AND BIFURCATIONS OF LIMIT CYCLES FOR A CLASS OF QUINTIC DIFFERENTIAL SYSTEMS WITH Z2SYMMETRY

SANG Bo
（School of Mathematical Sciences，Liaocheng University，Liaocheng 252059，China）

In this paper，the center conditions and bifurcations of small amplitude limit cycles for a class of quintic systems with Z2symmetry are investigated.By the computations of the first six focal quantities，the necessary and sufficient conditions for the origin to be center are derived，and the maximal number of small amplitude limit cycles is proved to be 6.Finally，by constructing displacement function，a concrete example of quintic system is proved to have six small amplitude limit cycles around the origin.

quintic system；focal quantity；limit cycle；displacement function

MR（2010）主題分類號：34C05；34C07O175.12

A

0255-7797（2016）05-1040-07

2014-03-24接收日期：2014-05-12

數學天元基金資助項目（11226041）.

桑波（1976-），男，山東肥城，副教授，主要研究方向：常微分方程定性理論和符號計算.

2010 MR Subject Classification：34C05；34C07