連續時間非時齊馬氏過程的廣義Dobrushin系數的估計

宋娟，張銘

（1.湖北經濟學院統計學院，湖北武漢430205）

（2.中國政法大學科學技術教學部，北京102249）

連續時間非時齊馬氏過程的廣義Dobrushin系數的估計

宋娟1，張銘2

（1.湖北經濟學院統計學院，湖北武漢430205）

（2.中國政法大學科學技術教學部，北京102249）

本文研究了非時齊馬氏過程的廣義Dobrushin系數的估計問題.在將經典Dobrushin遍歷系數推廣為加權的遍歷系數的基礎上，利用了矩陣拆分的方法，得到了對這種廣義遍歷系數的估計方法，推廣了時齊馬氏過程關于遍歷系數的估計結果，借此可進一步得到有關遍歷性的判定結論.

非時齊馬氏過程；遍歷系數；V范數

1　引言

在研究遍歷性的問題時會涉及到很多不同的方法：如最小非負解理論，譜理論，泛函不等式以及遍歷系數等，其中應用遍歷系數來進行遍歷性推斷的的方法是一種較為簡便且實用的方法.

遍歷系數有很多種，其中最重要也是最常用的一種就是Dobrushin遍歷系數δ（P）. Rhodius［10］和Neumann，Schneider［9］都曾研究過一些不同范數下的遍歷系數，并證明了這些遍歷系數都可以被Dobrushin遍歷系數所控制.

關于δ系數的研究已經進行了很多年，并且得到了很多重要的結果［2］.

近些年來，Hairer，Mattingly［5，6］等人在Meyn，Tweedie［8］的基礎上，通過引入V范數，推廣得到了LV空間及其對偶空間，并在其上討論指數收斂、多項式收斂、次指數收斂等一系列問題，綜合了drift條件、Lyapunov函數等得到了很好的結果.V范數實際上可以看作是一般常用范數的推廣，在應用其進行具體研究時，可以發現它開拓了研究視野，提供了新的方法和理念，使研究過程得到簡化.因此，越來越多的人投身于V范數的相關研究中，并將其推廣到了更廣泛的領域.文獻［7］就是將V范數的概念與δ系數、遍歷性相聯系，推廣得到了δV系數：定義符號測度μ的V范數為||μ||V：=sup｛∫Efdμ：||f||V≤1｝，其中V：E→［1，∞］是一個π-a.s.的有限函數，

由此就將δ（P）推廣為δV（P）.

定義1對于函數V：E→［1，∞），定義隨機概率矩陣P關于V的廣義Dobrushin系數為

根據這個定義，顯然有δV（I）=1.并且由此得到了指數遍歷的另一種判定方法.

一個ψ不可約非周期的馬氏鏈X=（Xn）n≥0是指數遍歷的當且僅當X是遍歷的且其不變測度為π，還存在一個π-a.s.有限函數V：E→［1，∞］使得π（V）＜∞并且當n足夠大時有δV（Pn）＜1.

由此可以看出δV（P）與遍歷性有直接的聯系，因此對遍歷性的判定就轉換為了對δV（P）的估計問題.其實從文獻［7］中的相關性質可以很明顯的看出，對于離散時間的馬氏鏈來說有

既然離散時間的δV（P）是被連乘積的形式控制的，那么連續時間時又是怎樣的情形呢？

2　主要結果和證明

為了結果陳述的方便，先給出一些基本符號及假設.假設狀態空間E上的非時齊的連續時間馬氏過程Ps，t滿足以下條件

（1）對任意的t≥u≥s≥0，都有Ps，t=Ps，uPu，t；

定理2對于非時齊的連續時間馬氏過程Ps，t，若有supiqi（t）＜∞，t≥0，則

其中

即可.這里用到文獻［7］中證得的關于δV（P）系數的一個非常重要的性質

由此可以得出對于所有的s＜t，都有

也就是

那么對于所有的△t＞0來說就有

此時再令△t↓0，即得

也就是Pt，t+△t具有如下矩陣形式

再根據δV（P）的定義，有

此時考慮到，由于supiqi（t）＜∞，所以存在εt＞0，使得對于任意的△t＜εt時都有

于是可以得到

則綜上有

于是綜上可知

類似的方法，也可以得到

于是最終得到所要的

至此證明完畢.

根據前面的定義可知經典Dobrushin遍歷系數就是當V（x）≡1時的特例，于是可得

推論3對于非時齊的連續時間馬氏鏈Ps，t，若有supiqi（t）＜∞，t≥0，則

其中

證此處只需令定理2中的V=1，即得

再由已知事實（a+b）-|a-b|=2min（a，b），即可得到結論.

這里的證明方法是從遍歷系數本身的定義出發，使本文對其控制上界中的?α和?αV的來源有了更清楚的認識.由以上得到的結果可以看出，無論是δ系數還是δV系數，其在連續時間情形的控制上界都是由指數形式的控制量所控制的，這恰恰與離散時間的情況是相對應的.

［1］王偉剛，一般隨機環境中馬氏鏈的強大數律［J］.數學雜志，2011，31（3）：481-487.

［2］Anderson W J.Continuous-time Markov chains an applications-oriented approach［M］.New York：Springer-Verlag，1991.

［3］Chen Mufa.From Markov chains to non-equilibrium particle systems［M］.Beijing：World Scientufic，Second Edition，2004.

［4］Dobrushin R L.Central limit theorem for non-stationary Markov chains I，II［J］.The.Prob.Appl.，1956，1：63-80，329-383.

［5］Hairer M，Mattingly J C.Spectral gaps in Wassersttein distances and the 2D stochastic Navier-Stokes equations［J］.Ann.Prob.，2008，36（6）：2050-2091.

［6］Hairer M，Mattingly J C.Yet another look at Harris'ergodic theorem for Markov chains［J］.Seminar Stoch.Anal.Rand.Fiel.Appl.VI，Prog.Prob.，2011，63：109-117.

［7］Mao Yonghua，Zhang Ming，Zhang Yuhui.A generalization of Dobrushin coefficient［J］.Chinese J. Appl.Prob.Stat.，2013，29（5）：489-494.

［8］Meyn S P，Tweedie R L.Markov chains and stochastic stability［M］.London：Springer-Verlag，1996.

［9］Neumann M，Schneider H.The convergence of general products of matrices and the weak ergodicity of Markov chains［J］.Linear Alg.Appl.，1999，287：307-314.

［10］Rhodius A.On the maximum of ergodicity coefficients，the Dobrushin ergodicity coefficient，and products of stochastic matrices［J］.Linear Alg.Appl.，1997，253：141-154.

THE ESTIMATE OF GENERALIZED ERGODIC COEFFICIENT FOR CONTINUOUS-TIME INHOMOGENEOUS MARKOV PROCESSES

SONG Juan1，ZHANG Ming2
（1.School of Statistics，Hubei University of Economics，Wuhan 430205，China）
（2.Department of Science and Technology，China University of Political Science and Law，Beijing 102249，China）

In this paper，we study the estimate of the generalized ergodic coefficient for inhomogeneous Markov processes.On the basis of the generalization of the classical Dobrushin ergodic coefficient and using the matrix，we obtain the estimate of the generalized ergodic coefficient，which extends the result of the estimation of the ergodic coefficient for homogeneous Markov processes，with which we can get a criterion for the geometric ergodicity.

inhomogeneous Markov processes；ergodic coefficient；V-norm

MR（2010）主題分類號：37A30；60J27O211.62

A

0255-7797（2016）05-1097-06

2015-11-05接收日期：2015-12-23

中國政法大學青年教師科研啟動資助項目（10816108）；國家社科項目“社交網絡對社會穩定性影響的統計研究”（15CTJ006）.

宋娟（1981-），女，湖北武漢，講師，主要研究方向：基礎數學.

張銘.

2010 MR Subject Classification：37A30；60J27