一類整數階和分數階經濟系統的混沌同步

周長芹，史麗敏，毛北行

（鄭州航空工業管理學院 理學院，鄭州450015）

一類整數階和分數階經濟系統的混沌同步

周長芹，史麗敏，毛北行

（鄭州航空工業管理學院 理學院，鄭州450015）

研究了一類整數階和分數階經濟系統的混沌同步問題，基于穩定性理論和分數階微積分方法得到了經濟系統與其響應系統取得混沌同步的充分條件。給出的例子說明了方法的有效性。

混沌同步，分數階系統；穩定性理論；分數階微積分方法

近年來，分數階系統已成為控制領域研究的熱點［1–4］。潘光等［5］研究了一類不確定分數階混沌系統的滑模自適應同步問題，并利用所設計的自適應滑模控制器實現了該系統與其響應系統的滑模混沌同步。仲啟龍等［6］研究了一類分數階模糊系統的混沌同步問題。余明哲等［7］研究了一類不確定分數階混沌系統的滑模自適應同步問題，并通過設計的切換函數和控制律得出了該系統與其響應系統取得滑模混沌同步的充分條件。嚴勝利等［8］研究了一類不確定分數階混沌系統的同步控制問題。徐爭輝等［9］研究了對稱分數階經濟系統的混沌同步問題，并利用時域分析法研究了它的特征。郝建紅等［10］研究了分數階線性系統的穩定性理論在混沌同步中的簡單應用。在此基礎上，我們研究了一類整數階和分數階經濟系統的混沌同步問題，基于穩定性理論和分數階微積分方法分別得出了這兩個系統與其響應系統取得混沌同步的充分條件，并通過兩個例子驗證了方法的有效性。

1　主要結果

我們考慮整數階經濟系統

其中，a為儲蓄量，b為單位投資成本，c為市場需求彈性，x1為存儲利率，x2為投資需求，x3為價格指數。

系統（1）作為驅動系統，其響應系統可設計為

當a=0.9,b=0.2,c=1.2時，系統（1）出現混沌狀態。

定義1［10］：Caputo分數階導數定義為

現在考慮分數階經濟系統

系統（4）作為驅動系統，其響應系統可設計為

定義系統誤差則由系統（5）與系統（4）相減得到的誤差系統為

4月20日凌晨，水利部抗震救災前方領導小組召開第三次工作會議，水利部抗震救災前方領導小組組長、國家防辦副主任李坤剛傳達了19日下午國家防總、水利部抗震救災會議精神，并確定了下一步的工作重點。

引理1［11］：對于一般的分數階自治非線性微分方程，當0<α≤1時，若存在實對稱正定矩陣P，使得，則由上述方程組成的分數階系統是漸近穩定的。

由系統（5）與系統（4）相減得到的誤差系統為

2　混沌同步舉例

例子1：設整數階系統為

其響應系統設計為

從圖1可以看出，誤差系統的3個誤差變量相距原點較遠，但隨著時間的推移，3個變量的誤差逐漸趨于原點，這表明整數階系統（7）與其響應系統（8）是混沌同步的。

圖1　整數階系統的誤差曲線

例子2：設分數階系統為

其響應系統設計為

當a=3,b=0.1,c=1,α=0.86時，若控制器設計為系統的初始值為則誤差系統（13）是漸近穩定的，這表明分數階系統（11）與其響應系統（12）是混沌同步的，誤差曲線如圖2所示。

圖2　分數階系統的誤差曲線

3　結束語

在本文中，我們基于線性系統理論和分數階微積分方法研究了經濟系統的混沌同步問題，給出了經濟系統與其響應系統取得混沌同步的充分條件，并通過Matlab數值仿真驗證了方法的有效性。

［1］毛北行，王東曉.一類分數階復雜網絡系統的有限時間同步控制［J］.深圳大學學報（理工版），2016（1）：96-101.

［2］毛北行，李巧利.一類分數階Duffling-van der pol系統的混沌同步［J］.吉林大學學報（理學版），2016（2）：369-373.

［3］毛北行，董建偉.一類混沌系統的函數矩陣投影同步［J］.經濟數學，2015（1）：42-45.

［4］張友安，余名哲，耿寶亮.基于投影法的不確定分數階混沌系統自適應同步［J］.電子與信息學報，2015（2）：455-460.

［5］潘光，魏靜.一種分數階混沌系統同步的自適應滑模控制器設計［J］.物理學報，2015（4）：5051-5057.

［6］仲啟龍，邵永輝，鄭永愛.基于TS模型的分數階系統混沌同步［J］.揚州大學學報（自然科學版），2012（2）：46-49.

［7］余明哲，張友安.一類不確定分數階混沌系統的滑模自適應同步［J］.北京航空航天大學學報，2014（9）：1276-1280.

［8］嚴勝利，張昭晗.一類不確定分數階混沌系統的同步控制［J］.系統仿真技術，2013（4）：366-370.

［9］徐爭輝，劉友金，譚文，等.一個對稱分數階經濟系統混沌特性分析［J］.系統工程理論與實踐，2014（5）：1237-1242.

［10］郝建紅，賓虹，姜蘇娜，等.分數階線性系統穩定理論在混沌同步中的簡單應用［J］.河北師范大學學報（自然科學版），2014（5）：469-475.

［11］胡建兵，趙靈冬.分數階系統穩定性理論與控制研究［J］.物理學報，2013（24）：5041-5047.

【責任編輯王云鵬】

Chaos Synchronization of a Class of Integral-order and Fractional-order Financial Systems

ZHOU Changqin，SHI Limin，MAO Beixing
（Department of Mathematics and Physics，Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management，Zhengzhou 450015，China）

The chaos synchronization problem of a class of integral-order and fractional order financial systems were studied in this paper.Based on stability theory and fractional calculus methods，the sufficient conditions that master system and its response system achieved chaos synchronization were obtained.The examples in this paper showed the methods were effective.

chaos synchronization；fractional-order systems；stability theory；fractional calculus

O231.1

A

2095-7726（2016）09-0014-03

2016-06-14

國家自然科學基金青年基金項目（NSFC11501525）；河南省科技廳軟科學研究計劃項目（142400411192）

周長芹（1981-），女，山東臨沂人，講師，碩士，研究方向：混沌同步與小波分析。