多個障礙物散射問題解的存在性與唯一性

吳慶華

（湖北工程學院 數學與統計學院，湖北 孝感432000）

多個障礙物散射問題解的存在性與唯一性

吳慶華

（湖北工程學院 數學與統計學院，湖北 孝感432000）

考慮了具有不同邊界條件的多個障礙物的混合散射問題，分別利用Rellich引理、Fredholm定理證明了該問題解的存在性和唯一性。

多個障礙物；散射問題；存在性；唯一性

人們經常用Helmholtz方程邊值問題描述時間調和的聲波散射問題。人們早期研究散射問題時考慮的都是單個障礙物。R.Kress［1］和分別考慮了帶Dirichlet和Neumann邊界條件的一個障礙物的散射問題，并通過邊界積分方程證明了解的存在性和唯一性。R.Kress等［3］借助邊界積分方程研究了滿足第三類邊界條件的散射問題。目前，人們更關注復雜散射問題，該問題可以分成兩類：一類是多層的復雜散射問題［4-5］，另一類是多個障礙物的復雜散射問題［6-7］。P.A.Martin［8］研究了點態的多個障礙物的復雜散射問題。F.B.Hassen1等［9］借助分裂法研究了多個障礙物散射問題的散射體重構問題。CHENG Jin等［10］借助探針法研究了多個散射體的復雜散射問題。M. Ganesh等［11］研究了三維空間中的多個散射體的復雜散射問題。散射問題包括正散射問題和逆散射問題，正散射問題是逆散射問題的研究基礎，研究逆散射問題就是利用正散射問題的解重構散射體的位置和形狀。在本文中，筆者考慮了多個障礙物的復雜正散射問題，并利用調和聲波滿足的Helmholtz方程、聲波在障礙物上滿足的邊界條件、Rellich引理和Fredholm定理證明了該散射問題解的唯一性和存在性。

1　兩個障礙物的混合散射問題

為了簡單起見，筆者考慮了兩個障礙物的情形，設D1和D2是兩個互不相交的障礙物，其中一個表面是聲硬的，另一個表面有涂層。調和聲波入射的整體場U= ui+ us滿足Helmholtz方程邊值問題

其中，j是虛數單位，x和d分別是觀察點和入射點的位置，λ是大于0的常數，ν表示沿各邊界?D1或?D2指向區域外部的單位法向量。是已知的入射波，us是未知的散射波，此外，散射波us還應滿足Sommerfeld散射條件

下面證明滿足散射條件（2）的問題（1）的解的唯一性和存在性。

2　解的唯一性

因為入射波ui滿足Helmholtz方程，所以在考慮未知散射波us時，問題（1）則改寫為

定理1：當λ>0時，滿足Sommerfeld散射條件（2）的問題（3）最多只有一個解。

證明：散射問題（3）有唯一解的充要條件是該問題在邊界條件f=h=0時只有零解。下面證明問題（3）的齊次邊值問題只有零解。

設BR是圓心在原點，半徑R充分大的圓，且,?BR為BR的邊界，則由Green公式可得

因為k>0,所以只要取λ≥0,就有

由Rellich引理［12］可以得出在R2?BR內有us= 0。根據解的唯一連續性定理［12］可以得出us=0在內恒成立，故定理1的結論成立。

3　解的存在性

下面利用邊界積分方程和Fredholm定理證明滿足條件（2）的散射問題（3）存在解。

其中x ∈?D1；

其中x ∈?D2。

其中x∈?Dk,l和m分別取1或2。

從以上分析過程可以看出，滿足散射條件（2）的問題（3）有解的充要條件是邊界積分方程組（6）有解。

定理2：當k2不是?算子在D1內的Neumann特征值時，邊界積分方程組（6）存在唯一解。

下面證明方程組（6）左端的邊界積分算子是單射時，方程組（6）有唯一解。

設(φ1, φ2)是齊次方程組的解，令

和

同時，w(x)還滿足

和

根據上述四個問題解的唯一性，k2只要不是算子在D1內的Neumann特征值，在D1和D2的內部和外部就有w=0。又由位勢函數的跳躍關系可知，φ1=,因而齊次方程組（7）只有零解。

由以上證明過程和Fredholm定理可知，邊界積分方程組（6）存在唯一解。

在以上證明過程中，用到的(?)+和(?)?分別表示x從區域外部和內部趨于相應邊界時的極限。

定理3：當k2不是算子在D1內的Neumann特征值時，滿足散射條件（2）的問題（3）存在唯一解,且有

證明：由定理1和定理2知，散射問題（3）存在唯一解，將方程組（6）的解代入由Green表示的形式解就可以得到該定理的結論。

4　結束語

在本文中，筆者僅考慮了兩個障礙物的復雜正散射問題，并分別利用Rellich引理、Fredholm定理證明了該問題解的存在性和唯一性。多個障礙物的正散射問題和逆散射問題還有待做進一步討論。

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【責任編輯王云鵬】

The Existence and Uniqueness of Solutions to Multiple Obstacles Scattering Problems

WU Qinghua
（School of Mathematics and Statistics，Hubei Engineering University，Xiaogan 432000，China）

The multiple obstacles scattering problems with different boundary conditions were considered in this paper.The existence and uniqueness of the solutions were respectively proved by using Fredholm's theorem and Rellich's lemma.

multiple obstacles；scattering problems；existence；uniqueness

O175.24；O175.25

A

2095-7726（2016）09-0001-03

2016-04-19

吳慶華（1977-），女，湖北天門人，副教授，博士，研究方向：偏微分方程。