淺談數學概念教學的層次分析

鄧全民

摘 要：數學概念是數學教學的重點內容，也是學生必須掌握的重要基礎知識之一，是數學基本技能的形成與提高的必要條件。在概念教學中，教師要講究教學方法，新課改理念下的數學概念教學較注重概念的形成過程，多啟發學生，多培養學生的主動性與創造性；同時要幫助學生理解概念的本質，弄清概念之間的區別與聯系。

關鍵詞：數學概念；數學思維；層次分析

一、新舊理念下數學概念教學模式的層次分析

傳統的數學概念教學大多采用“屬+種差”的概念同化方式進行。通常分為以下幾個步驟：1、揭示概念的本質屬性，給出定義、名稱和符號； 2、對概念的進行特殊分類，揭示概念的外延；3、鞏固概念，利用概念解決的定義進行簡單的識別活動； 4、概念的應用與聯系，用概念解決問題，并建立所學概念與其他概念間的聯系。這種教學過程簡明，使學生可以比較直接地學習概念，節省時間，被稱為是“學生獲得概念的最基本方式”。但是，僅從形式上做邏輯分析讓學生理解概念是遠遠不夠的。數學概念具有過程——對象的雙重性，既是邏輯分析的對象，又是具有現實背景和豐富寓意的數學過程。因此，必須返璞歸真，揭示數學概念的形成過程，讓學生從概念的現實原型、概念的抽象過程、數學思想的指導作用、形式表述和符號化的運用等多方位理解一個數學概念，使之符合學生主動建構的教育原理。

二、新課改理念下的概念與法則的教學案例

1.代數式概念。代數式（字母表示數）概念一直是學生學習代數過程中的難點，有很多學生學過后只能記住代數式的形式特征，不能理解字母表示數的意義。代數式的本質在于將求知數和數字可以像數一樣進行運算。認識這一點，需要有以下四個層次。（一）通過操作活動，理解具體的代數式，問題一：讓學生用火柴棒按下面的方式搭正方形，并請填寫好下表。 問題二：有一些矩形，長是寬的3倍，請填寫下表。 通過以上兩個問題，讓學生初步體會“同類意義”的數表示的各種關系。（2）探究階段，體驗代數式中過程， 針對活動階段的情況，可提出一些問題讓學生討論探究：①問題一中3n+1，與具體的數有什么樣的關系？ ②把各具體字母表示的式子作為一個整體，具有什么樣的特征和意義？（需經反復體驗、反思、抽象代數式特征：一種運算關系；字母表示一類數等）。 這一階段還包括列代數式和對代數式求值，可設計下題讓學生進一步體會代 數式的特征：①每包書有12冊，n包書有________冊。②溫度由t℃下降2℃后是_________℃。③一個正方形的邊長是x，那么它的面積是_________. ④如果買x平方米的地毯（每平方米a元），又付y立方米自來水費（每立方米b元），共花去_______________元錢？（3）對象階段，對代數式的形式化表述。這一階段包括建立代數式形式定義、對代數式的化簡、合并同類項、因式分 解及解方程等運算。學生在進行運算中就意識到運算的對象是形式化的代數式而不是數，代數式本身體現了一種運算結構關系，而不只是運算過程。這一階段，學生必須理解字母的意義，識別代數式。（二）探究規律：把以上算式作為整體綜合進行特征分析：同號相加、異號相加、一個數與零相加等的過程和結果對照總結規律，理解運算意義。（1）形成對象：把各種規律綜合在一起成為一完整的有理數加法法則，并產生有理數和的模式：有理數+有理數=①符號②數值這一階段還包括按照有理數和的模式及具體的運算律進行任意的有理數和的運算和代數式求值的運算等。（2）形成圖式：有理數加法法則以一種綜合的心理圖式建立在學生的頭腦中，其中有具體的足球比賽的實例、有抽象的操作過程、有完整的運算律和形成的模式。而且通過以后的學習獲得和其他概念、規則的區別與聯系。

三、兩種教學模式下學生學習方式的對比分析

與新課改理念相比，傳統的教學模式下學生的學習缺少“活動”階段，對概念的形成過程沒有充分體驗，學生數學概念的建立靠教師代替快體驗、快抽象。反映出的情況有：1.過快的抽象過程使得只能有一少部分學生進行有意義的學習，難以引發全體學生的學習活動，大部分學生理解不了數學概念，只能靠死記硬背。例如學生學習有理數運算很長時間，還經常出現符號運算錯誤，這就是學生對有理數運算沒有理解而造成的。2.由教師代替學生快體驗、快抽象出數學概念，即使是能跟隨教師進行有意義學習的學生其學習活動也是不連貫的，建構的概念缺乏完整性。例如學生學習了代數式的概念，經常出現a+a+a×2=3a×2，25x-4=21x，5yz-5z=y等錯誤，這是因為學生沒有進行必要的“活動”，使“探究”的體驗不完整需用造成的。又如在求解方程中出現（x+2）2=1=x2+4x+4=1=……等錯誤，說明學生還停留于運算過程層面，對方程對象的結構特征不理解。3.學生建構概念的圖式層面是學習的最高階段，在現有教學環境下很多學生難以達到這一層面。例如，為什么要學習解方程？解方程的本質是什么？

四、新課改理念下數學概念教學的策略

新課改理念下的數學概念教學是由學生活動、探究到對象、圖式的學習過程，體現了數學知識形成的規律性。為此，我結合自己的教學實踐對數學概念教學采取以下策略：1.教師要把“教”建立在學生“學”的活動中。為了使學生建構完整的數學知識，首先要設計學生的學習活動。這需要教師創設問題情境，設計時要注意以下幾個方面：（1）能揭示數學知識的現實背景和形成過程；（2）適合學生的學習水平，使學習活動能順利展開；（3）適當數量的問題，使學生有充足活動體驗；（4）注意趣味性，活動形式可以多種多樣，引起全體學生的學習興趣。2.體現數學知識形成中的數學思維方法。 數學思維方法是知識產生的靈魂，把握數學知識形成中的數學思維方法，是學生展開思維、建構概念的主線。學生學習中要給予提示、建議并在總結中歸納。另外，要設計能引起學生反思的提問，如“你的結果是什么？”“你是怎樣得出的？”“你為什么怎樣做？”……使學生能順利完成由“活動”到“探究”，“探究”到“對象”的過渡。3.數學對象的建立需經多次反復。 一個數學概念由“探究”到“對象”的建立，有時既困難又漫長（如函數概念）。“探究”到“對象”的壓縮、抽象需要經過多次反復，循序漸進，螺旋上升，直至學生真正理解。“對象”的建立要注意簡練的文字形式和符號表示，使學生在頭腦中建立起數學知識的直觀結構形象。加強知識間的聯系和應用，幫助學生在頭腦中建立起完整的數學知識的心理圖式。

綜上所述，數學概念教學應努力通過揭示概念的形成、發展和應用的過程，培養學生的辯證唯物主義觀念，完善學生的認知結構，發展學生的思維能力。只要我們遵循認識規律，注意概念教學的研究與實踐，就不難提高數學的教學質量。