妙用數形結合思想優化中職數學解題思維探討

戴晨燕

摘 要：數形結合具有形象直觀、易于理解的特性。結合教學實例，從以“數”構“形”、理解記憶，以“數”助“形”、直觀顯現，數形結合、方便快捷三個方面探討中職數學解題教學中妙用數形結合思想，提高學生的解題能力。

關鍵詞：中職；數學；數形結合；解題思維

中圖分類號：G718.3 文獻標志碼：A 文章編號：1008-3561（2016）25-0056-01

華羅庚先生曾指出：“數缺形時少直覺，形缺數時難入微。數形結合百般好，隔裂分家萬事非?！痹跀祵W中，“數”和“形”是兩個最基本的對象，數形結合具有形象直觀、易于理解的特性。通過圖形的描述、代數的論證，可以做到以形助數，以數助形，相互轉化，協調發展。在中職數學解題教學中，數形結合思想是一種特有的解題思維，是知識轉化為能力的橋梁，往往能取得出奇制勝的效果。下面，以中職數學中具有代表性的習題為例，對數形結合思想的具體運用進行研究。

一、以“數”構“形”，理解記憶

數學概念都比較抽象，在理解數學概念時，教師可以借助具體實物、圖形、模型等，幫助學生增強形象思維，并引導學生認真觀察，從而將具體的“形”與抽象的“數”在頭腦中漸漸對應起來，揭示其幾何意義。這樣的教學方式，利于培養學生的數學思維，增強對抽象的數學概念的認識。例如，中職數學基礎模塊上冊中較為重要的數學概念——“集合”，是學生以后學習求解函數取值范圍的必要基礎。應用數形結合方法是解決集合問題的主要方法，文氏圖是其中的主要手段之一。文氏圖是運用封閉的曲線，以表示集合這一概念，并同時可以涵蓋其相互關系的圖形。圖1就是一個基本的文氏圖。如果描述成數學語言，就是集合A與B出現相交，全集∪包含集合A、B。下面來看一個例題。案例1：校運動會比賽共400人參加，參加徑賽項目的有150人，參加田賽項目的300人。請問有多少人同時參加了2個項目？通過閱讀題意發現，這是一道簡單的集合問題。先假設A={參加徑賽項目的選手}，B={參加田賽項目的選手}，x=同時參加AB兩項目的人。x=A∩B=50（人）?？梢?，引入數形結合思想，利用文氏圖方法進行求解，可以讓解題變得簡單。

二、以“數”助“形”，直觀顯現

在一個幾何問題中，恰當地將幾何問題代數化，即將解決問題的過程巧妙轉化為易于理解的代數演算來完成，從中找出蘊含的代數關系，可以使復雜問題簡單化，省去大量的理論分析過程，輕松解題。案例2：四邊形ABCD內接于圓E，如圖2所示，E是圓心，AC⊥BD，O是AC和BD的交點，G是CD邊上的中點，EF⊥AB，F是垂足，求證：EF=OG。此案例如果一味運用幾何方法求證，容易會讓思維陷入瓶頸，學生也會感覺求證過程很難。但如果將其轉化為代數問題，則會讓人產生一種“柳暗花明又一村”之感。如圖3所示，設直線AC為x軸，直線BD為y軸，建立直角坐標系，那么A、B、C、D坐標可對應為（-a，0），（0，-b），（c，0），（0，d）。已知G是CD邊上的中點，又因為E是圓心，EF⊥AB，所以，F也是AB邊的中點，F、G的坐標分別是。E在AC、BD的垂直平分線上，推出E的坐標為。直接計算EF和OG的距離，可以得到EF=OG=。這樣，在仔細觀察圖形的基礎上，恰當利用“以數助形”，化復雜的圖形的性質和幾何意義為易為理解的代數關系，收獲了出奇制勝的效果。

三、數形結合，方便快捷

在具體的解題過程中，教師應引導學生做到數形結合，在形象思維與抽象思維的交叉運用中，尋求最為簡捷的解法。案例3：傾斜角為60°的直線AB過橢圓的左焦點，與橢圓交于點A和B，如圖4所示，若|FA|=2|FB|，求橢圓的離心率。解：設準線與x軸交點為M，過A、B作準線的垂線，垂足分別為D、C，過B作BH⊥AD，垂足為H，交x軸于E。設|AB|=3t，由|FA|=2|FB|，可以得出|AF|=2t，|BF|=t。因為直線AB傾斜角為60°，可以得出∠ABH=30°，|AH|= |AB|=t。然后再根據橢圓第二定義，就可以得出|AH|=|AD|-|BC|=，所以 t=，即e=。可見，通過“數”與“形”的相互滲透，綜合應用圓錐曲線的統一定義，結合解含有60°的直角三角形，求橢圓的離心率，運算量小，方便快捷。

四、結束語

總之，數形結合是歷年單招考試重點考查的內容之一，也是學生理解數學本質、掌握數學概念的有效技巧和方法。在平時的數學教學中，教師應在教學中有意識地進行訓練，將代數問題與幾何問題有機結合起來，發展學生的數學思維，取得事半功倍的教學效果。

參考文獻：

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